Question

20．如圖，矩形ABCD中，AB=8，BC=16，E為CD的中點，點P、Q為BC上兩個動點，
①若連結(jié)AP、PE，則PE+AP最小值為20；
②連結(jié)PA、QE，若PQ=6，當(dāng)CQ=$\frac{10}{3}$時，四邊形APQE的周長最�。�

Answer 1

分析 ①延長AB到M，使BM=AB，則A和M關(guān)于BC對稱，連接EM交BC于P，此時AP+EP的值最小，作作EN⊥AB，根據(jù)勾股定理求出EM長；
②點A向右平移3個單位到M，點E關(guān)于BC的對稱點F，連接MF，交BC于Q，要使四邊形APQE的周長最小，只要AP+EQ最小就行，證△MNQ∽△FCQ即可．

解答 解：①如圖1，延長AB到M，使BM=AB=8，則A和M關(guān)于BC對稱，連接EM交BC于P，此時AP+EP的值最小，AP+PE=EM，
作EN⊥AB，
∴EN=AD=16，BN=$\frac{1}{2}$AB=4，BM=AB=8，
∴MN=12，
∴EM=$\sqrt{E{N}^{2}+M{N}^{2}}$=$\sqrt{1{6}^{2}+1{2}^{2}}$=20．
②如圖2，點A向右平移6個單位到M，點E關(guān)于BC的對稱點F，連接MF，交BC于Q，此時MQ+EQ最小，
∴要使四邊形APQE的周長最小，只要AP+EQ最小就行，
即AP+EQ=MQ+EQ過M作MN⊥BC于N，
設(shè)CQ=x，則NQ=16-6-x=10-x，
∵△MNQ∽△FCQ，
∴$\frac{MN}{CF}=\frac{NQ}{CQ}$，
∵M(jìn)N=AB=8，CF=CE=4，CQ=x，QN=10-x，
解得：x=$\frac{10}{3}$．
故答案為：$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱-最短路線問題的應(yīng)用，題目具有一定的代表性，但是一道難度偏大的題目，對學(xué)生提出較高的要求．