Question

15．已知：如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，DE平分∠ADC，EF∥DC交AD邊于點(diǎn)F，連結(jié)BD．
（1）求證：四邊形FECD是正方形；
（2）若BE=1，ED=2$\sqrt{2}$求tan∠DBC的值．

Answer 1

分析 （1）先證明四邊形FECD為平行四邊形，再證出CD=CE，得出四邊形FECD為菱形，由∠C=90°，即可得出四邊形FECD為正方形；
（2）先由三角函數(shù)求出正方形FECD的邊長CD=CE，得出BC，即可求出tan∠DBC的值．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=∠C=90°，
∵EF∥DC，
∴四邊形FECD為平行四邊形，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∴∠CDE=∠DEC，
∴CD=CE，
∴四邊形FECD是菱形，
又∵∠C=90°，
∴平行四邊形FECD是正方形；
（2）解：∵四邊形FECD是正方形，
∴∠CDE=45°，
∵$ED=2\sqrt{2}\begin{array}{l}，\end{array}$
∴CE=CD=ED•sin45°=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2，
∴BC=BE+EC=1+2=3，
∴$tan∠DBC=\frac{DC}{BC}=\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、平行四邊形和菱形的判定、解直角三角形；熟練掌握矩形和正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．