Question

10．在直角坐標(biāo)系xOy中，過原點O及點A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分線交AB于點D．點P從點O出發(fā)，以每秒$\sqrt{2}$個單位長度的速度沿射線OD方向移動；同時點Q從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向移動．設(shè)移動時間為t秒．
（1）當(dāng)點P移動到點D時，求出此時t的值；
（2）用含t的式子表示PB²，BQ²，PQ²；
（3）當(dāng)t為何值時，∠PQB為直角？

Answer 1

分析 （1）由四邊形OABC為矩形，得到∠AOC與∠OAB都為直角，再由OD為角平分線，得到∠AOD=∠DOQ=45°，在等腰直角三角形AOD中，根據(jù)AO與AD求出OD的長，即可求出t的值；
（2）如圖1，作PG垂直O(jiān)C，在等腰直角三角形POG中，求出∠OPG的度數(shù)，根據(jù)OP表示出OG與PG，進(jìn)而表示出P的坐標(biāo)，再由Q與B的坐標(biāo)，利用兩點間的距離公式表示PB²，BQ²，PQ²即可；
（3）若∠PQB=90°，則有PQ²+BQ²=PB²，列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．

解答 解：（1）∵四邊形OABC是矩形，
∴∠AOC=∠OAB=90°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOQ=45°，
∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°，
∴AO=AD=2，OD=2$\sqrt{2}$，
∴t=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2；
（2）如圖1，作PG⊥OC于點G，

在Rt△POG中，∵∠POQ=45°，
∴∠OPG=45°，
∵OP=$\sqrt{2}$t，∴OG=PG=t，
∴點P（t，t），
又∵Q（2t，0），B（6，2），
根據(jù)勾股定理可得：PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t²；
（3）若∠PQB=90°，則有PQ²+BQ²=PB²，
即：2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，
整理得：4t²-8t=0，
解得：t₁=0（舍去），t₂=2，
∴t=2，
∴當(dāng)t=2，∠PQB為直角．

點評 此題屬于四邊形綜合題，涉及的知識有：矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及一元二次方程的解法，熟練掌握四邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．