Question

5．如圖甲，直線PA交⊙O于A、E兩點，PA的垂線CD切⊙O于點C，過點A作⊙O的直徑AB．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）將直線CD向下平行移動，在將直線CD向下平行移動的過程中，如圖乙、丙，試指出與∠DAC相等的角（不要求證明）．
（3）在圖甲中，若DC+DA=6，⊙O的直徑為10，求AE的長度．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由切線的性質可知CD⊥OC，從而可證明OC∥PA，可得到∠PAC=∠OCA，然后再根據(jù)OA=OC，可知∠OAC=∠OCA，從而可證明∠OAC=∠PAC；
（2）如圖2、圖3，連接BC，利用直徑所對的圓周角等90°以及同角或等角的余角相等以及同弧所對的圓周角相等進行證明即可；
（3）如圖4，連接OC，過點A作AF⊥CO，垂足為F，連接CB、CE，首先證明四邊形AFCD為矩形，故此DC=AF，AD=CF，設AD的長為x，則AF=6-x，CF=5-x．
在Rt△AFO中，由OA²=AF²+OF²，得25=（6-x）²+（5-x）²，從而可得到AD=2，DC=4，然后再證明△EDC∽△ADC，由相似三角形的性質可求得ED=8，可求得AE=6．

解答 （1）證明：如圖1，連接OC，

∵OA、OC是⊙O的半徑，
∴OA=OC．
∴∠OAC=∠OCA．
∵CD切⊙O于點C，
∴CD⊥OC．
又∵CD⊥PA，
∴OC∥PA．
∴∠PAC=∠OCA．
∴∠OAC=∠PAC．
∴AC平分∠DAB；
解：（2）∠DAC=∠BAF，
理由：如圖2，連接BC．

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACF+∠BCF=90°
又∵在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠FCB．
又∵∠FAB=∠FCB，
∴∠DAC=∠BAF．
如圖3

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠CAB+∠CBA=90°
又∵∠FAD+∠AFD=90°，∠DFA=∠CBA，
∴∠DAF=∠CAB．
∴∠DAF-∠CAF=∠CAB-∠CAF．
∴∠DAC=∠BAF．
（3）如圖4所示：連接OC，過點A作AF⊥CO，垂足為F，連接CB、CE．

∵DC⊥AE，OC⊥DC，AF⊥CO，
∴四邊形AFCD為矩形．
∴DC=AF，AD=CF．
設AD的長為x，則AF=6-x，OF=5-x．
在Rt△AFO中，OA²=AF²+OF²，即：25=（6-x）²+（5-x）²，
解得：x₁=2，x₂=9（舍去）
∴AD=2，DC=4．
由（1）可知：∠DAC=∠BAF．
又∵∠CAD+∠DCA=90°，∠CAB+∠ABC=90°
∴∠DCA=∠CBA．
∵∠DEC=∠ABC，
∴∠DEC=∠DCA．
又∵∠EDC=∠ADC，
∴△EDC∽△ADC．
∴$\frac{DE}{DC}=\frac{DC}{AD}$，即：$\frac{ED}{4}=\frac{4}{2}$．
∴ED=8．
∴AE=6．

點評 本題主要考查的是圓的綜合應用，解答本題主要應用了圓周角定理，切線的性質、相似三角形的性質和判定、矩形的性質和判定和勾股定理，利用圓周角定理進行角的轉化是解題的關鍵．