Question

9．四邊形ABCD中，E是BC的中點，BC=4，且∠AED=∠B=∠C=60°．
（1）如圖1，若AD∥BC，求證：△ADE是等邊三角形；
（2）如圖2，若AD不平行于BC，過點E作EM⊥AD于M，求EM的長．

Answer 1

分析 （1）由已知條件易證四邊形ABCD是等腰梯形，所以AB=CD，再由已知條件即可證明△ABE≌△DCE，由全等三角形的性質(zhì)可得AE=DE，又∠AED=60°，所以可證明△ADE是等邊三角形；
（2）過點E作EN⊥AB于點N，利用已知得出∠BAE=∠DEC，進而得出△ABE∽△ECD，利用相似三角形的性質(zhì)求得出∠BAE=∠DAE，得出EN=EM，進而利用特殊角的三角函數(shù)值求出即可．

解答 （1）證明：∵AD∥BC，∠B=∠C=60°，
∴AB=CD，
∵E是BC的中點，
∴BE=CE，
在△ABE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠B=∠C}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
又∵∠AED=60°，
∴△ADE是等邊三角形；
（2）解：過點E作EN⊥AB于點N，
∵∠AED=60°，
∴∠AEB+∠DEC=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BAE+∠AEB=120°，
∴∠BAE=∠DEC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABE∽△ECD，
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{AE}{DE}$，
∴AB•ED=EC•EA，
∵E是BC的中點，
∴EB=EC，
∴AB•DE=BE•AE，
∴$\frac{AB}{BE}=\frac{AE}{DE}$，
又∵∠AED=∠B=60°，
∴△ABE∽AED，
∴∠BAE=∠DAE，
∵NE⊥AB，EM⊥AD，
∴NE=EM，
∴sin60°=$\frac{NE}{BE}$$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵BE=EC，
∴$\frac{EN}{BC}$=$\frac{EM}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵BC=4，
∴EM=$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)數(shù)值等知識，綜合性較強，得出NE=EM是解題關(guān)鍵．