Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)FE交AC于點(diǎn)E．
（1）求證：DE=AE；
（2）若BC=3，DE=2，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）利用切線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理得出∠A=∠2，進(jìn)而得出答案；
（2）利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出△ADC∽△ACB，進(jìn)而得出答案．

解答：（1）證明：連接DC，
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴AC是⊙O的切線(xiàn)，
∴DE=EC，
∴∠1=∠3，
∵∠1+∠2=∠A+∠3=90°，
∴∠A=∠2，
∴AE=DE；

（2）解：由（1）得：AE=EC=ED=2，則AC=4，
∵BC=3，
∴AB=5，
∵∠A=∠A，∠ACB=∠ADC=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，
∴

AD

4

=

4

5

，
解得：AD=

16

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線(xiàn)的性質(zhì)定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△ADC∽△ACB是解題關(guān)鍵．