Question

17．如圖1，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，且點C為弧BE的中點，連接AE并延長交BC延長線于點D．
（1）判斷△ABD的形狀，并說明理由；
（2）過點C作CM⊥AD，垂足為點F，如圖2．
①求證：CF是⊙O的切線；
②若⊙O的半徑為3，DF=1，求sinB的值．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接AC，由AB是⊙O的直徑，得到AC⊥BD，根據(jù)$\widehat{BC}$=$\widehat{CE}$，得到∠BAC=∠DAC，求得AB=AD；
（2）如圖2，連接AC，OC，證明過半徑的外端點垂直于這條半徑的直線是圓的切線；
（3）由相似三角形求得BC，根據(jù)勾股定理得到AC，求得∠B的正弦．

解答  解：（1）如圖1，連接AC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BD，
∵$\widehat{BC}$=$\widehat{CE}$，
∴∠BAC=∠DAC，
∴AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形；

（2）如圖2，連接AC，OC，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠1，
∴∠2=∠3，
∵CF⊥AD，
∴∠AFC=90°，
∴∠2+∠ACF=90°
∴∠3+∠ACF=90°
∴AC⊥CF，
∴CF是⊙O的切線；

（3）∵∠ACB=∠CFD=90°，
∠B=∠D，
∴△ABC∽△CDF，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BC}{DF}$，
∴$\frac{6}{CD}$=$\frac{BC}{1}$，
∴BC=CD=$\sqrt{6}$，
∴AC=$\sqrt{30}$，
∴sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

點評 本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．