Question

11．觀察下列等式：（1）3²-1²=8；（2）5²-3²=16；（3）7²-5²=24；（4）9²-7²=32；…
（1）11²-9²=40．
（2）寫出第n個等式（n是正整數(shù)）：8n．
（3）說明你所寫的等式的正確性．

Answer 1

分析 （1）通過觀察可發(fā)現(xiàn)兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)，第n個等式為：（2n+1）²-（2n-1）²=8n，進而求出11²-9²的值；
（2）由（1）可得第n個等式為：（2n+1）²-（2n-1）²=8n；
（3）原式右邊利用平方差公式化簡，計算得到結(jié)果與左邊相等，即可得證．

解答 （1）通過觀察可發(fā)現(xiàn)兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差是8的倍數(shù)，
第n個等式為：（2n+1）²-（2n-1）²=8n；
∵2n-1=9，
解得n=5，
∴11²-9²=8n=5×8=40．

（2）由（1）得：第n個等式為：（2n+1）²-（2n-1）²=8n；

（3）左邊=（2n+1+2-1）（2n+1-2n+1）
=4n×2
=8n=右邊，
故所寫等式正確．

點評 此題考查了數(shù)字的變化類，通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應該具備的基本能力，本題的關(guān)鍵規(guī)律是：（2n+1）²-（2n-1）²=8n．