Question

2．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AE，BE=BC，連接DE，EC
（1）求證：DE⊥EC；
（2）若M為CD的中點，求證：BM∥DE．

Answer 1

分析 （1）分別在△AED和△BCE中表示出∠A和∠EBC的度數(shù)，然后結(jié)合∠A+∠EBC=180°求解即可；
（2）由直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)可知EM=MC，然后再根據(jù)BE=BC，可證明BM是CE的垂直平分線．

解答 證明：（1）∵AD=AE，BC=BE，
∴∠ADE=∠AED，∠BCE=∠BEC．
∴∠A=180°-2∠AED，∠ABC=180°-2∠BEC．
∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC=180°．
∴180°-2∠AED+180°-2∠BEC=180°．
∴∠AED+∠BEC=90°．
∴∠CDE=90°．
∴DE⊥CE．
（2）如圖所示：連接EM．

∵∠CDE=90°，M是CD的中點，
∴CM=EM．
∵BE=BC，∠CM=EM，
∴BM垂直平分CE．
∵BM⊥CE，DE⊥EC，
∴DE∥MB．

點評 本題主要考查的是線段垂直平分線的判定、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，證得BM是CE的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．