Question

7．如圖在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一點(diǎn)（D不與B、C重合），H為AD中點(diǎn)，連CH并延長交AB于E
（1）當(dāng)BD：DC=5：8時(shí)，求BE：EA；
（2）當(dāng)AE與BE滿足什么條件時(shí)，AD⊥BC，并加以證明；
（3）是否存在這樣的D點(diǎn)，使E為AB的中點(diǎn)？若存在求出BD：DC，若不存在，請(qǐng)加以證明．

Answer 1

分析 （1）作DN∥CE交AB于N，根據(jù)平行線分線段成比例定理計(jì)算；
（2）根據(jù)等腰三角形的三線合一得到BD=DC，根據(jù)平行線分線段成比例定理計(jì)算；
（3）根據(jù)三角形中位線定理解答．

解答 解：（1）如圖1，作DN∥CE交AB于N，
∴BE：EN=BD：DC=5：8，
∵DN∥CE，H為AD中點(diǎn)，
∴HE=EA，
∴BE：EA=5：16；

（2）當(dāng)AE：BE=1：2時(shí)，AD⊥BC，
證明：作DF∥CE交AB于F，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
∵DF∥CE，BD=DC，H為AD中點(diǎn)，
∴BF=FE，F(xiàn)E=EA，
∴AE：BE=1：2時(shí)，AD⊥BC；

（3）不存在這樣的D點(diǎn)，使E為AB的中點(diǎn)．
∵E為AB的中點(diǎn)，H為AD中點(diǎn)，
∴EC∥BC．
∴不存在這樣的D點(diǎn)，使E為AB的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理以及平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，掌握等腰三角形的三線合一、三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．