Question

2．如圖，已知AB和DE是⊙O的兩條弦，且AB∥DE，C為DE上的一點，CD=BD，連接AC交DE于P，連接OP．
（1）求證：$\widehat{AC}$=$\widehat{DE}$；
（2）求證：OP平分∠APD．

Answer 1

分析 （1）由AB和DE是⊙O的兩條弦，且AB∥DE，可得$\widehat{AE}$=$\widehat{BD}$，又由CD=BD，易證得$\widehat{AE}$=$\widehat{CD}$，繼而證得結(jié)論；
（2）首先過點O作OM⊥DE于點M，過點O作ON⊥AC于點N，易證得弦心距OM=ON，則可證得OP平分∠APD．

解答 證明：（1）∵AB和DE是⊙O的兩條弦，且AB∥DE，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BD}$，
∵CD=BD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{CD}$，
∴$\widehat{AE}$+$\widehat{CE}$=$\widehat{CD}$+$\widehat{CE}$，
即$\widehat{AC}$=$\widehat{DE}$；

（2）過點O作OM⊥DE于點M，過點O作ON⊥AC于點N，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{DE}$，
∴AC=DE，
∴OM=ON，
∴OP平分∠APD．

點評 此題考查了弧與弦的關(guān)系．注意掌握輔助線的作法．