Question

17．已知AB為⊙O的直徑，C為AB延長線上一點，CD切⊙O于點D，CD=4，BC=2
（1）求⊙O的半徑；
（2）若OE⊥AB交⊙O于點E，求DE的長．

Answer 1

分析 （1）根據切割線定理得到AB=6，于是得到結論；
（2）連接OD，由切線的性質得到∠CDO=90°，根據三角函數的定義得到cos∠C=$\frac{CD}{CO}$=$\frac{4}{5}$，等量代換得到cos∠DOE=$\frac{4}{5}$，根據勾股定理列方程即可得到結論．

解答 解：（1）∵CD切⊙O于點D，
∴CD²=CB•CA，
即4²=2（AB+2），
解得AB=6，
∴⊙O的半徑為3；
（2）連接OD，
∵CD切⊙O于點D，
∴∠CDO=90°，
∴cos∠C=$\frac{CD}{CO}$=$\frac{4}{5}$，
∵OE⊥AB，
∴∠DOE=∠C=90°-∠COD，
∴cos∠DOE=$\frac{4}{5}$，
過D作DF⊥OE于F，
∴$\frac{OF}{OD}=\frac{4}{5}$，
∴OF=$\frac{12}{5}$，
∴EF=$\frac{3}{5}$，∵DE²-EF²=OD²-OF²，
即DE²-（$\frac{3}{5}$）²=3²-（$\frac{12}{5}$）²，
∴DE=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查了切線的性質切割線定理，解直角三角形，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．