Question

12．如圖，已知△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交 BC于點D，過D作DE⊥AC于E．
（1）求證：直線DE是⊙O的切線；
（2）若CD=2$\sqrt{3}$，∠ACB=30°，分別求AB，OE的大�。�

Answer 1

分析 （1）要想證DE是⊙O的切線，只要連接OD，求證∠ODE=90°即可．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求得AB，再在Rt△CDE中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可求得DE，再由勾股定理求出OE即可．

解答 解：（1）連接OD，則OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C．
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴DE是⊙O的切線；

（2）連接AD，
∵AB為直徑
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC∠ACB=30°
∴BD=DC∠B=∠ACB=30°，
∵CD=2$\sqrt{3}$，
∴BD=2$\sqrt{3}$，
在Rt△ABD中，cos∠B=$\frac{BD}{AB}$，
∴AB=$\frac{BD}{cos∠B}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
∴OD=OB=$\frac{1}{2}$AB=2，
在Rt△CDE中，sin∠C=$\frac{DE}{DC}$，
∴DE=DCsin∠C=2$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$，
在Rt△ODE中，OE²=OD²+DE²=2²+（$\sqrt{3}$）²=7，
∴OE=$\sqrt{7}$．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理以及解直角三角形，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．