Question

12．如圖，四邊形ABCD是長方形．

（1）P為長方形內(nèi)一點(diǎn)（如圖a），求證：PA²+PC²=PB²+PD²；
（2）探索若點(diǎn)P在AD邊上（如圖b）時，結(jié)論是否仍然成立．若成立請證明，不成立請說明理由．
（3）探索若點(diǎn)P在長方形ABCD外（如圖c）時，結(jié)論是否仍然成立．若成立請證明，不成立請說明理由．

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)P作AD的垂線，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，可證四邊形ABFE和CDEF為矩形，則AE=BF，DE=CF，在△PAE，△PCF，△PBF，△PCF中，分別求PA²，PC²，PB²，PD²，再比較PA²+PC²與PB²+PD²即可；
（2）根據(jù)PB²-PA²=AB²=CD²=PC²-PD²，移項(xiàng)即可；
（3）畫出圖形，把問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，由勾股定理分別求PA²，PC²，PB²，PD²．

解答 （1）證明：過點(diǎn)P作AD的垂線，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，如圖（a）所示：
則四邊形ABFE和CDEF為矩形，
∴AE=BF，DE=CF，
由勾股定理得：
則AP²=AE²+PE²，PC²=PF²+CF²，
BP²=BF²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∴PA²+PC²=AE²+PE²+PF²+CF²，
PB²+PD²=BF²+PF²+DE²+PE²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．
（2）成立，理由如下：在Rt△ABP中，由勾股定理，得PB²-PA²=AB²，
同理可得PC²-PD²=CD²，
由矩形的性質(zhì)可得AB=CD，
∴PB²-PA²=PC²-PD²，
∴PA²+PC²=PB²+PD²．
（2）成立
過點(diǎn)P作AD的垂線，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，
則四邊形ABFE和CDEF為矩形，
∴AE=BF，DE=CF，
由勾股定理得：
則AP²=AE²+PE²，PC²=PF²+CF²，
BP²=BF²+PF²，PD²=DE²+PE²，
∴PA²+PC²=AE²+PE²+PF²+CF²，
PB²+PD²=BF²+PF²+DE²+PE²
∴PA²+PC²=PB²+PD²．
（3）成立．如圖（c）所示，由勾股定理可證PA²+PC²=PB²+PD²．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題目，考查了勾股定理及矩形的性質(zhì)．關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理分別表示邊長的平方．