Question

7．如圖，在菱形ABCD中，點E在對角線AC上，點F在BC的延長線上，EF=EB，
EF與CD相交于點G；
（1）求證：EG•GF=CG•GD；
（2）聯(lián)結(jié)DF，如果EF⊥CD，那么∠FDC與∠ADC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）先證明△BCE≌△DCE，得∠EDC=∠EBC；利用此條件再證明∠DGE∽△FGC，即可得到EG•GF=CG•GD．
（2）利用第（1）題的結(jié)論，可證明△DGE∽△FGC，再利用三角形內(nèi)角外角關(guān)系，即可得到∠ADC與∠FDC的關(guān)系．

解答 解：（1）證明：∵點E在菱形ABCD的對角線AC上，
∴∠ECB=∠ECD，
∵BC=CD，CE=CE，
∴△BCE≌△DCE，
∴∠EDC=∠EBC，
∵EB=EF，
∴∠EBC=∠EFC；
∴∠EDC=∠EFC；
∵∠DGE=∠FGC，
∴△DGE∽△FGC；
∴$\frac{EG}{CG}$=$\frac{GD}{FG}$，
∴EG•GF=CG•GD；

（2）∠ADC=2∠FDC．
證明：∵$\frac{EG}{CG}$=$\frac{GD}{FG}$，
∴$\frac{EG}{DG}$=$\frac{CG}{FG}$，
又∵∠DGF=∠EGC，
∴△CGE∽△FGD，
∵EF⊥CD，DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA=∠DFG=90°-∠FDC，
∴∠ADC=180°-2∠DAC=180°-2（90°-∠FDC）=2∠FDC．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識點的綜合應(yīng)用，解題時注意：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．