Question

4．如圖所示，有一批形狀大小相同的鐵片，呈直角三角形，已知∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，現(xiàn)在想用這批鐵片裁出正方形鐵片，這里有兩種不同的設(shè)計(jì)方案：第一種：正方形兩邊分別落在△ABC的兩條直角邊上，第二種：正方形一邊落在斜邊AB上，通過計(jì)算說明哪種方案能裁出面積最大的正方形鐵片？

Answer 1

分析 先利用勾股定理計(jì)算出AC=4，對(duì)于方案一：如圖1，設(shè)正方形CGFE的邊長為x，則BE=3-x，證明△BEF∽△BCA，利用相似比可計(jì)算出x=$\frac{12}{7}$；對(duì)于方案二：如圖2，設(shè)正方形HGFE的邊長為y，作CM⊥AB于M，交HG于N，利用面積法計(jì)算出CM=$\frac{12}{5}$，再證明△CHG∽△CBA，利用相似比可計(jì)算出y=$\frac{60}{37}$，然后比較x和y的大小即可判斷哪種方案能裁出面積最大的正方形鐵片．

解答 解：∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，則AC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
方案一：如圖1，設(shè)正方形CGFE的邊長為x，則BE=3-x，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BCA，
∴$\frac{EF}{CA}$=$\frac{BE}{BC}$，即$\frac{x}{4}$=$\frac{3-x}{3}$，解得x=$\frac{12}{7}$；
方案二：如圖2，設(shè)正方形HGFE的邊長為y，作CM⊥AB于M，交HG于N，
∵$\frac{1}{2}$CM•AB=$\frac{1}{2}$•BC•AC，
∴CM=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$，
∵HG∥AB，
∴△CHG∽△CBA，
∴$\frac{HG}{AB}$=$\frac{CN}{CM}$，即$\frac{y}{5}$=$\frac{\frac{12}{5}-y}{\frac{12}{5}}$，解得y=$\frac{60}{37}$，
∵x=$\frac{12}{7}$=$\frac{60}{35}$＞$\frac{60}{37}$=y，
∴第一種方案能裁出面積最大的正方形鐵片．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的應(yīng)用：常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，利用三角形相似的性質(zhì)計(jì)算相應(yīng)線段的長．