Question

9．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：四邊形OCED是菱形；
（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的面積為10$\sqrt{3}$，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可證得四邊形CODE是平行四邊形，又由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得OC=OD，即可判定四邊形CODE是菱形，
（2）根據(jù)菱形OCED的面積=2△OCD的面積=△ACD的面積=$\frac{1}{2}$AD•CD=10$\sqrt{3}$，證出AC=2CD，AD=$\sqrt{3}$CD，得出$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$CD•CD=10$\sqrt{3}$，求出CD，即可得出答案．

解答 （1）證明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四邊形OCED是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠ADC=∠ABC=∠BAD=90°，
∴OD=OC，
∴四邊形OCED是菱形；
（2）解：∵四邊形OCED是菱形，
∴菱形OCED的面積=2△OCD的面積=△ACD的面積=$\frac{1}{2}$AD•CD=10$\sqrt{3}$，
∵∠ACB=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠DAC=30°，
∴AC=2CD，AD=$\sqrt{3}$CD，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$CD•CD=10$\sqrt{3}$，
解得：CD=2$\sqrt{5}$，
∴AC=2CD=4$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵，記住矩形的對(duì)角線把矩形分成面積相等的4個(gè)三角形，屬于中考�？碱}型．