Question

如圖，△ADC中，∠D=90°，B是AC邊上一點(diǎn)，以AB為直徑的⊙O與邊CD，AD分別交于E、F兩點(diǎn)，AE平分∠CAD．
（1）求證：CD與⊙O相切；
（2）若ED=2，AD=4，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）連接OE，利用內(nèi)錯(cuò)角相等證得線段OE∥AD，根據(jù)∠D=90°即可證得∠OED=∠D=90°，從而判定CD與⊙O相切；
（2）首先利用勾股定理求得AE的長(zhǎng)，然后證得△AEB∽△ADE，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等求得線段BE的長(zhǎng)．

解答：解：（1）如圖，連接OE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵AE平分∠CAD，
∴∠OAE=∠EAD，
∴∠OEA=∠EAD，
∴OE∥AD，
∴∠OED=∠D=90°，
∴CD與⊙O相切；

（2）∵ED=2，AD=4，
∴AE=

ED2+AD2

=2

5

，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵∠OAE=∠EAD，
∴△AEB∽△ADE，
∴

BE

ED

=

EA

AD

，
即：

BE

2

=

2 5

4

，
解得：BE=

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，在解決切線問(wèn)題時(shí)，常常連接圓心和切點(diǎn)，判定切線就是證明垂直，已知切線能得到垂直．