Question

如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O與斜邊AC交于點D，E為BC邊上的動點，連接DE，OE．
（1）若∠CAB=45°，試問當(dāng)點E運(yùn)動到BC邊的哪一位置時，四邊形AOED是平行四邊形；
（2）在（1）的條件下判斷四邊形OBED的形狀．（不必說明理由）

Answer 1

考點：正方形的判定,平行四邊形的判定,圓周角定理

專題：

分析：（1）當(dāng)點E運(yùn)動到BC邊中點時，四邊形AOED是平行四邊形，連接BD，分別證明OE∥AC和DE∥AB即可；
（2）在（1）條件下，四邊形OBED是正方形．

解答：解：（1）當(dāng)點E運(yùn)動到BC邊中點時，四邊形AOED是平行四邊形．
理由：∵邊AB是⊙O的直徑，
∴O是AB的中點．
又∵點E是BC中點，
∴OE是△ABC的中位線，OE∥AC．
連接BD，
∵AB是直徑，
∴BD⊥AC．
又∵∠CAB=45°，
∴△ABC為等腰直角三角形．
∴BD也是Rt△ABC斜邊AC的中線，
即D為AC中點．
又∵點E是BC中點，
∴DE∥AB，
∴四邊形AOED是平行四邊形；
（2）在（1）條件下，四邊形OBED是正方形，
理由如下：∵DE∥AB，OD∥BC，
∴四邊形OBDE是平行四邊形，
∵DE，BE是圓的切線，
∴DE=BE，∠DEB=∠OBE=90°，
∴四邊形OBED是正方形．

點評：本題考查了平行四邊形的判斷和性質(zhì)、圓周角定理，解答此類題的關(guān)鍵是要突破思維定勢的障礙，運(yùn)用發(fā)散思維，多方思考，探究問題在不同條件下的不同結(jié)論，挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系，向“縱、橫、深、廣”拓展，從而尋找出添加的條件和所得的結(jié)論．