Question

15．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交OD的延長線于點(diǎn)E，連結(jié)BE．
（1）求證：BE與⊙O相切．
（2）若BE=3$\sqrt{5}$，且sin∠ABC=$\frac{2}{3}$，求OA的長度．

Answer 1

分析 （1）連接OC，先證明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，從而可證得結(jié)論．
（2）根據(jù)等角的余角相等，得到$\frac{OB}{OE}$=sin∠OEB=sin∠ABC=$\frac{2}{3}$，由勾股定理求得OB，根據(jù)同圓的半徑相等，得到OA 的值．

解答 （1）證明：連結(jié)OC，
∵CE是⊙O的切線，
∴∠OCE=90°，
∵OC=OD，OD⊥BC，
∴OD是△BOC的角平分線，
即∠BOE=∠COF，
又∵OE=OF，
∴△BOE≌△COE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，
∴BE與⊙O相切，
（2）解：由（1）得∠OBE=90°
∴∠OEB+∠BOE=90°，
∵OD⊥BC∴∠ABC+∠BOE=90°，
∴∠OEB=∠ABC，
sin∠OEB=sin∠ABC=$\frac{OB}{OE}$═$\frac{2}{3}$，
設(shè)OB=2k，OE=3k，則有（3k）²=（2k）²${+（3\sqrt{5）}}^{2}$
∴k=$\sqrt{3}$，
∴OA=OB=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 此題考查了切線的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是掌握切線的判定定理，