Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=$\frac{1}{2}$x+2與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的拋物線為y=-x²+bx+c，點(diǎn)E為第二象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，連接AE，BE．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當(dāng)△ABE面積最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出此時(shí)△ABE的面積；
（3）當(dāng)∠EAB=∠OAB時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）首先求出直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先設(shè)E（x，-x²-$\frac{7}{2}$x+2），則D（x，$\frac{1}{2}$x+2），進(jìn)而表示出△ABE的面積，進(jìn)而求出最值即可；
（3）根據(jù)題意得出M點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AM的解析式，進(jìn)而利用一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)求法得出E點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）在y=$\frac{1}{2}$x+2中   
令x=0，y=2；令y=0，x=-4，
∴A（-4，0），B（0，2），
把A，B兩點(diǎn)分別代入y=-x²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-16-4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{7}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴所求拋物線的解析式為：y=-x²-$\frac{7}{2}$x+2；
                        
（2）如圖1，作EH⊥x軸，交AB于點(diǎn)D，設(shè)E（x，-x²-$\frac{7}{2}$x+2），則D（x，$\frac{1}{2}$x+2），
故S_△ABE=$\frac{1}{2}$DE×AO=$\frac{1}{2}$×DE×4
=2DE
=2[-x²-$\frac{7}{2}$x+2-（$\frac{1}{2}$x+2）]
=-2x²-8x
∵-$\frac{2a}$=-2，
∴當(dāng)x=-2時(shí)，S_△ABE最大=8，
此時(shí)點(diǎn)E（-2，5）；

（3）如圖2，作BM⊥AB交直線AE于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，
∵AO=4，OB=2，
∴AB=2$\sqrt{5}$，
 又∵∠EAB=∠BAO，
∴tan∠EAB=tan∠BAO=$\frac{OB}{AO}$=$\frac{1}{2}$，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$，
又∵∠MBN=∠BAO，
∴tan∠MBN=tan∠BAO=$\frac{1}{2}$，
∴MN=1，BN=2，
∴ON=4，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M（-1，4）．
又∵A（-4，0），
∴設(shè)直線AM的解析式為：y=kx+b（k≠0），把A（-4，0），N（-1，4）分別代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=0}\\{-k+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
故所求直線AM的解析式為：y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{4}{3}x+\frac{16}{3}}\\{y=-{x}^{2}-\frac{7}{2}x+2}\end{array}\right.$，
則6x²+29x+20=0，
故（x+4）（6x+5）=0，
解得：x₁=-4（不合題意舍去），₂=-$\frac{5}{6}$，
把x=-$\frac{5}{6}$代入y=-x²-$\frac{7}{2}$x+2中，
故y=$\frac{38}{9}$，則點(diǎn)E（-$\frac{5}{6}$，$\frac{38}{9}$）．

點(diǎn)評 此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)以及二次函數(shù)解析式以及函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)求法等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出M點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．