Question

10．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是半圓的中點，連接AC，CD是弦．若AB=10，tan∠ACD=$\frac{3}{4}$，CA=CE，連接OE，則OE的長為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{5}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{5}{3}$

Answer 1

分析 連接AE，作EM⊥AD，EF⊥BD，ON⊥BD垂足為M，F(xiàn)，N，EK⊥ON垂足為K，由AC弧=BC弧，AB是直徑，得出∠CAO=∠ADC=CDB=45°，∠DAE=∠EAO，從而證得E是三角形的內(nèi)心，求得EF=2，ON=3，KN=2，EK=2，求得EK=1，根據(jù)勾股定理即可求得OE的長．

解答 解：連接AE，作EM⊥AD，EF⊥BD，ON⊥BD垂足為M，F(xiàn)，N，EK⊥ON垂足為K，
∵CA=CE，
∴∠CAE=∠CEA，
∵∠CEA=∠DAE+∠EDA，
∴∠CAO+∠OAE=∠DAE+∠ADE，
∵AC弧=BC弧，AB是直徑，
∴∠CAO=∠ADC=CDB=45°，
∴∠DAE=∠EAO，
∴E是三角形的內(nèi)心，
∵tan∠ACD=$\frac{3}{4}$，∠ACD=∠ABD，
∴tan∠ABD=$\frac{3}{4}$，
∵AB=10，
∴AD=6，BD=8，
∴內(nèi)切圓的半徑EF=2，
易知ON=3，KN=2，EK=2，
∴OK=1，
在RT△OEK中OE=$\sqrt{O{K}^{2}+E{K}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故選A．

點評 本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，三角形的內(nèi)切圓的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，證得E是三角形ABD的內(nèi)心是解題的關(guān)鍵．