Question

16．如圖，經(jīng)過點A（0，-4）的拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸相交于B（-2，0），C兩點，O為坐標(biāo)原點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c向上平移$\frac{7}{2}$個單位長度，再向左平移m（m＞0）個單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點P在△ABC內(nèi)，直接寫出m的取值范圍；
（3）點P為x軸下方的拋物線上的一個動點，連接PA、PC，若所得△PAC的面積為S，求出當(dāng)S取何值時，相應(yīng)的點P有且只有2個？
（4）設(shè)點M在x軸上，∠OMA+∠OAB=∠ACB，求BM的長．

Answer 1

分析 （1）只需運用待定系數(shù)法，將A、B兩點坐標(biāo)代入拋物線的解析式，即可解決問題；
（2）首先根據(jù)平移條件表示出移動后的函數(shù)解析式，進(jìn)而用m表示出該函數(shù)的頂點坐標(biāo)，如圖1，將其代入直線AB、AC的解析式中，即可確定P在△ABC內(nèi)時m的取值范圍；
（3））①當(dāng)點P在直線AC下方時，作PH∥y軸，交x軸于H，交AC于D，如圖2，設(shè)P（x，$\frac{1}{2}$x²-x-4），則D（x，x-4），從而有PD=x-4-（$\frac{1}{2}$x²-x-4）=-$\frac{1}{2}$ （x-2）²+2，可得S=S_△PDA+S_△PDC=$\frac{1}{2}$PD×OC=-（x-2）²+4，顯然x=2時，S最大為4，則O＜S≤4；②當(dāng)點P在直線AC上方時，如圖3，易得O＜S＜12．根據(jù)①、②即可得到當(dāng)S=4相應(yīng)的點P有且只有2個；
（4）①當(dāng)點M在點C的右邊時，取OC中點E，連結(jié)AE，如圖4，則有OE=OB=2．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得AB=AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAO=∠EAO，從而得到∠EAO+∠CAE=∠BAO+∠CAE=45°．由條件∠OMA+∠OAB=∠ACB=45°可得∠OMA=∠CAE，從而可得△AEC∽△MEA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出ME，從而求出BM；②當(dāng)點M在點C的左邊時，取OC中點E，連結(jié)AE，如圖5，同理可求出BM的值．

解答 解：（1）將A（0，-4）、B（-2，0）代入拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c中，得：
$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{\frac{1}{2}×4-2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式y(tǒng)=$\frac{1}{2}$x²-x-4；

（2）m的取值范圍為0＜m＜$\frac{5}{2}$．
提示：由題可得，新拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$（x+m）²-（x+m）-4+$\frac{7}{2}$，
即y=$\frac{1}{2}$（x+m-1）²-1，則頂點P的坐標(biāo)為（1-m，-1），如圖1，

由（1）的拋物線解析式可得：C（4，0）；
運用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為y=x-4，直線AB的解析式為y=-2x-4；
當(dāng)點P在直線AB上時，-2（1-m）-4=-1，解得：m=$\frac{5}{2}$
當(dāng)點P在直線AC上時，（1-m）-4=-1，解得：m=-2；
∴當(dāng)點P在△ABC內(nèi)時，-2＜m＜$\frac{5}{2}$
又∵m＞0，
∴0＜m＜$\frac{5}{2}$．

（3）①當(dāng)點P在直線AC下方時，
作PH∥y軸，交x軸于H，交AC于D，如圖2．

設(shè)P（x，$\frac{1}{2}$x²-x-4），則D（x，x-4），
∴PD=x-4-（$\frac{1}{2}$x²-x-4）=-$\frac{1}{2}$ （x-2）²+2
∴S=S_△PDA+S_△PDC=$\frac{1}{2}$PD•OH+$\frac{1}{2}$PD•HC
=$\frac{1}{2}$PD×OC=2PD
=-（x-2）²+4
∴x=2時，S最大為4，
∴0＜S≤4．
結(jié)合圖象可知：當(dāng)0＜S＜4時，每取一個S值，相應(yīng)的點P有且只有2個，
當(dāng)S=4時，相應(yīng)的點P有且只有1個；
②當(dāng)點P在直線AC上方時，如圖3．

∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•OA=$\frac{1}{2}$×6×4=12．
∴O＜S＜12．
結(jié)合圖象可知：當(dāng)0＜S＜12時，每取一個S值，相應(yīng)的點P有且只有1個．
綜上所述：當(dāng)點P在x軸下方時，0＜S＜4時相應(yīng)的點P有且只有2個；

（4）①當(dāng)點M在點C的右邊時，
取OC中點E，連結(jié)AE，如圖4，

則有OE=OB=2．
∵OA⊥BE，
∴AB=AE，
∴∠BAO=∠EAO．
∵OA=OC，∠AOC=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠EAO+∠CAE=45°，
∴∠BAO+∠CAE=45°．
∵∠OMA+∠OAB=∠ACB=45°，
∴∠OMA=∠CAE．
∵∠AEC=∠MEA，
∴△AEC∽△MEA，
∴$\frac{AE}{ME}$=$\frac{EC}{EA}$．
∵AE=$\sqrt{O{A}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，EC=4-2=2，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{ME}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴ME=10，
∴BM=BE+ME=4+10=14．
②當(dāng)點M在點C的左邊時，取OC中點E，連結(jié)AE，如圖5，

同理可得：BM=10．
綜上所述：BM=14或10．

點評 本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)及一次函數(shù)的解析式、垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，在解決問題的過程中用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、割補法、臨界值法等重要的數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)熟練掌握．