Question

13．如圖，已知反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，且OA=2，∠AOC=30°，AC⊥x軸于點(diǎn)C
（1）試確定此反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段OB．判斷點(diǎn)B是否在此反比例函數(shù)的圖象上，并說明理由；
（3）已知點(diǎn)P（m，$\sqrt{3}$m+6）也在此反比例函數(shù)上的圖象上，（其中m＜0），過點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)M．若線段PM上存在一點(diǎn)Q，使得△OQM的面積是$\frac{1}{2}$，設(shè)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n，求n²-2$\sqrt{3}$n+9的值．

Answer 1

分析 （1）由于反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-$\sqrt{3}$，1），運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出此反比例函數(shù)的解析式；
（2）首先由點(diǎn)A的坐標(biāo)，可求出OA的長度，∠AOC的大小，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷點(diǎn)B是否在此反比例函數(shù)的圖象上；
（3）把點(diǎn)P（m，$\sqrt{3}$m+6）代入反比例函數(shù)的解析式，得到關(guān)于m的一元二次方程；根據(jù)題意，可得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n），再由△OQM的面積是$\frac{1}{2}$，根據(jù)三角形的面積公式及m＜0，得出mn的值，最后將所求的代數(shù)式變形，把mn的值代入，即可求出n²-2$\sqrt{3}$n+9的值．

解答 解：（1）∵OA=2，∠AOC=30°，AC⊥x軸于點(diǎn)C，
∴AC=$\frac{1}{2}$OA=1，OC=OA•cos30°=$\sqrt{3}$，
∴A（-$\sqrt{3}$，1）．
由題意得1=$\frac{k}{-\sqrt{3}}$，解得k=-$\sqrt{3}$，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$；

（2）過點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)C．
在Rt△AOC中，OC=$\sqrt{3}$，AC=1，
∴OA=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=2，∠AOC=30°，
∵將線段OA繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段OB，
∴∠AOB=30°，OB=OA=2，
∴∠BOC=60°．
過點(diǎn)B作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)D．
在Rt△BOD中，BD=OB•sin∠BOD=$\sqrt{3}$，OD=$\frac{1}{2}$OB=1，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，$\sqrt{3}$），
將x=-1代入y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$中，得y=$\sqrt{3}$，
∴點(diǎn)B（-1，$\sqrt{3}$）在反比例函數(shù)y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$的圖象上．

（3）由y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$得xy=-$\sqrt{3}$，
∵點(diǎn)P（m，$\sqrt{3}$m+6）在反比例函數(shù)y=-$\frac{\sqrt{3}}{x}$的圖象上，其中m＜0，
∴m（$\sqrt{3}$m+6）=-$\sqrt{3}$，
∴m²+2$\sqrt{3}$m+1=0，
∵PQ⊥x軸，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，n）．
∵△OQM的面積是$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$OM•QM=$\frac{1}{2}$，
∵m＜0，∴mn=-1，
∴m²n²+2$\sqrt{3}$mn²+n²=0，
∴n²-2$\sqrt{3}$n=-1，
∴n²-2$\sqrt{3}$n+9=8．

點(diǎn)評 本題綜合考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，求代數(shù)式的值等知識，尤其是在最后一問中，沒有必要求出n的具體值，而是將mn=-1作為一個(gè)整體代入，有一定的技巧性，使計(jì)算簡便．