Question

1．如圖，A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，△ABD、△BCE為等邊三角形，（等邊三角形的三邊相等，三個(gè)內(nèi)角都是60°）．
（1）你能發(fā)現(xiàn)圖中有幾對(duì)三角形全等，并給出證明；
（2）探究△BMN的形狀，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由△ABD與△BCE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩條邊對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)角相等都為60°，利用SAS即可得到△ABE與△DBC全等，進(jìn)而得到∠BDN=∠BEM，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，再由∠ABD=∠EBC=60°，利用平角的定義得到∠MBE=∠NBC=60°，再由EB=CB，利用ASA可得出△EMB與△CNB全等，同理△DBN≌△ABM；
（2）利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到MB=NB，再由∠MBE=60°，利用有一個(gè)角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出△BMN為等邊三角形．

解答 解：（1）△ABE≌△DBC，△DBN≌△ABM，△EMB≌△CNB三對(duì)；
∵等邊△ABD和等邊△BCE，∴△MBE≌△NBC
∴AB=DB，BE=BC，∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠ABE=∠DBC=120°，
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴∠BDN=∠BAM；∠AEB=∠DCB，
又∵∠ABD=∠EBC=60°，
∴∠MBE=180°-60°-60°=60°，
即∠MBE=∠NBC=60°，
在△MBE和△NBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DCB}\\{EB=BC}\\{∠MBE=∠NBC}\end{array}\right.$，
∴△MBE≌△NBC，
在△MBA和△NBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBN=∠ABM}\\{AB=DB}\\{∠BAM=∠BDN}\end{array}\right.$，
∴△MBE≌△NBC；

（2）由（1）證得△MBE≌△NBC
∴BM=BN，∠MBE=60°，
∴△BMN為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．同時(shí)做第二問(wèn)時(shí)注意利用第一問(wèn)已證的結(jié)論．