Question

4．如圖，已知在?ABCD中，延長AD到E，使DE=AD，延長AB到F，使BF=AB，分別以AF、AE為斜邊作Rt△ANF，Rt△AME，且∠F=∠E．求證：CM=CN．

Answer 1

分析 連接BN，DM，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到BN=$\frac{1}{2}$AF=AB，MD=$\frac{1}{2}$AE=AD，根據(jù)等邊對等角得∠BAN=∠BNA，∠MAD=∠AMD，證明∠NBC=∠MDC，根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，所以BC=AD，AB=CD，得到CD=NB，BC=AD，證明△NBC≌△CDM，即可解答．

解答 解：連接BN，DM，

∵AM⊥ME，AN⊥FN，BF=AB，DE=AD
∴BN=$\frac{1}{2}$AF=AB，MD=$\frac{1}{2}$AE=AD，
∴∠BAN=∠BNA，∠MAD=∠AMD，
∴∠ABN=180°-2∠BAN，∠ADM=180°-2∠MAD，
∵∠BAN+∠F=90°，∠MAD+∠E=90°，∠F=∠E，
∴∠BAN=∠MAD
∴∠ABN=∠ADM
∵∠NBC=∠ABN+∠ABC，
∠MDC=∠ADM+∠ADC
又∵在平行四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC
∴∠NBC=∠MDC
∵四邊形ABCD為平行四邊形
∴BC=AD，AB=CD，
∴CD=NB，BC=AD，
在△NBC和△CDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=NB}\\{∠NBC=∠MDC}\\{BC=AD}\end{array}\right.$，
∴△NBC≌CDM，
∴CM=CN．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定定理、直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明△NBC≌CDM．