Question

6．如圖，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，0），直線(xiàn)y=x+b（b＞0）與y軸交于點(diǎn)B，連接AB，∠α=60°，則b的值為（　�。�

• A． 3$\sqrt{3}$-3
• B． $\sqrt{3}$+3
• C． 2$\sqrt{3}$+3
• D． 2$\sqrt{3}$-3

Answer 1

分析 令直線(xiàn)y=x+b與x軸交于點(diǎn)C，根據(jù)直線(xiàn)的解析式可求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，進(jìn)而得出∠BCO=45°，再通過(guò)角的計(jì)算得出∠BAO=15°，以BA為邊在∠ABO內(nèi)部作∠ABD=∠BAO=15°，可設(shè)AD=BD=x，得OD=OA-AD=$\sqrt{3}$-x，在Rt△BOD中根據(jù)cos∠BDO=$\frac{OD}{BD}$求得x，即可得BD的長(zhǎng)，再根據(jù)BO=BDsin∠BDO可得答案．

解答 解：令直線(xiàn)y=x+b與x軸交于點(diǎn)C，
令y=x+b中x=0，則y=b，
∴B（0，b）；
令y=x+b中y=0，則x=-b，
∴C（-b，0）．
∴∠BCO=45°．
∵α=∠BCO+∠BAO=60°，
∴∠BAO=15°，

如圖，以BA為邊在∠ABO內(nèi)部作∠ABD=∠BAO=15°，
設(shè)AD=BD=x，
∴OD=OA-AD=$\sqrt{3}$-x，
在Rt△BOD中，∵∠BDO=∠ABD+∠BAO=30°，
∴cos∠BDO=$\frac{OD}{BD}$，即$\frac{\sqrt{3}-x}{x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：x=4$\sqrt{3}$-6，即BD=4$\sqrt{3}$-6，
∴BO=BDsin∠BDO=（4$\sqrt{3}$-6）×$\frac{1}{2}$=2$\sqrt{3}$-3，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形的外角性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值以及一次函數(shù)的斜率的幾何意義．解題時(shí)，注意挖掘隱含在題干中的已知條件∠BCA=45°及在直角三角形中構(gòu)造30°的內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．