Question

12．已知，如圖正方形ABCD中，E為BC上任意一點，過E作EF⊥BC，交BD于F，G為DF的中點，連AE和AG．
（1）如圖1，求證：∠FEA+∠DAG=45°；
（2）如圖2在（1）的條件下，設BD和AE的交點為H，BG=8，DH=9，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）作GM⊥BC于M，連接GE、GC，如圖1，由正方形的性質得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，再證明△ADG≌△CDG得到AG=CG，∠DAG=∠1，∠AGD=∠CGD，接著利用等腰三角形的判定與性質得到GC=GE，∠5=∠4，∠2=∠3，從而得到∠1=∠6=∠DAG，GA=GE，再證明△AGE為等腰直角三角形得到∠AEG=45°，從而得到∠FEA+∠DAG=45°；
（2）把△ADG繞點A順時針旋轉90°得到△ABQ，連接QH，如圖2，利用旋轉的性質得∠ABQ=∠ABD=45°，AQ=AD，BQ=DG，∠QAG=90°，再證明△QAH≌△GAH得到HQ=HG，設BH=x，用x表示出則HG=HQ=8-x，BQ=x+1，然后在Rt△BQH中利用勾股定理得到（x+1）²+x²=（8-x）²，解得x=3，則BD=BH+DH=12，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質求AD．

解答 （1）證明：作GM⊥BC于M，連接GE、GC，如圖1，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ADG和△CDG中
$\left\{\begin{array}{l}{DA=DC}\\{∠ADG=∠CDG}\\{DG=DG}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△CDG，
∴AG=CG，∠DAG=∠1，∠AGD=∠CGD，
∵G點為DF的中點，F(xiàn)E⊥BC，GM⊥BC，DC⊥BC，
∴GM為梯形CDFE的中位線，
∴EM=CM，
∴GE=GC，∠5=∠4，
∴GM平分∠EGC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠6=∠DAG，GA=GE，
∵GM∥CD，
∴∠MGD=180°-∠GDC=135°，即∠2+∠DGC=135°，
∴∠AGD+∠3=∠2+∠DGC=135°，
∴∠AGE=90°，
∴△AGE為等腰直角三角形，
∴∠AEG=45°，即∠FEA+∠6=45°，
∴∠FEA+∠DAG=45°；
（2）解：把△ADG繞點A順時針旋轉90°得到△ABQ，連接QH，如圖2，
∴∠ABQ=∠ABD=45°，AQ=AD，BQ=DG，∠QAG=90°，
∵∠FEA+∠DAG=45°；
而∠FEA=∠BAE，
∴∠BAE+∠DAG=45°；
∴∠EAG=45°，
∴∠QAE=45°，
在△QAH和△GAH中
$\left\{\begin{array}{l}{AQ=AG}\\{∠QAH=∠GAH}\\{AH=AH}\end{array}\right.$，
∴△QAH≌△GAH，
∴HQ=HG，
設BH=x，則HG=BG-BH=8-x，
∴HQ=8-x，
∵DH=BG+DG-BH，
∴DG=9-8+x=x+1，
∴BQ=x+1，
∵∠ABQ+∠ABD=45°+45°=90°，
∴△BQH為直角三角形，
∴BQ²+BH²=QH²，即（x+1）²+x²=（8-x）²，解得x=3，
∴BD=BH+DH=3+9=12，
∴AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=6$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了正方形的性質：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．解決問題的關鍵是全等三角形和直角三角形．