Question

19．如圖①，將?ABCD置于直角坐標(biāo)系中，其中BC邊在x軸上（B在C的左側(cè)），點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，4），直線MN：y=$\frac{3}{4}$x-6沿著x軸的負(fù)方向以每秒1個單位的長度平移，設(shè)在平移過程中該直線被□ABCD截得的線段長度為m，平移時間為t（s），m與t的函數(shù)圖象如圖②所示．
（1）填空：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）；在平移過程中，該直線先經(jīng)過B、D中的哪一點(diǎn)？B；（填“B”或“D”）
（2）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0），a=$\frac{40}{3}$．
（3）求圖②中線段EF的函數(shù)關(guān)系式；
（4）t為何值時，該直線平分?ABCD的面積？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，再根據(jù)圖2判斷出CM的長，然后求出OC，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)被截線段在一段時間內(nèi)長度不變可以判斷出先經(jīng)過點(diǎn)B后經(jīng)過點(diǎn)D；
（2）根據(jù)圖2求出BM=10，再求出OB，然后寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用勾股定理列式求出CD，再求出BC的長度，從而得到BC=CD，判斷出?ABCD是菱形，根據(jù)向左平移橫坐標(biāo)減表示出平移后的直線解析式，把點(diǎn)D的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出t的值即為a；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再求出F的坐標(biāo)，然后設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（4）根據(jù)過平行四邊形中心的直線平分平行四邊形的面積，求出菱形的中心坐標(biāo)，然后代入直線MN的解析式計(jì)算即可得解．

解答 解：（1）令y=0，則$\frac{3}{4}$x-6=0，解得x=8，
令x=0，則y=-6，
∴點(diǎn)M（8，0），N（0，-6）
∴OM=8，ON=6，
由圖2可知5秒后直線經(jīng)過點(diǎn)C，
∴CM=5，OC=OM-CM=8-5=3，
∴C（3，0），； 
∵10秒～a秒被截線段長度不變，
∴先經(jīng)過點(diǎn)B；
故答案為：（3，0）；B；
（2）由圖2可知BM=10，
∴OB=BM-OM=10-8=2，
∴B（-2，0），
在Rt△OCD中，由勾股定理得，CD=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=5，
∴BC=CD=5，
∴?ABCD是菱形．
∵設(shè)直線MN向x軸負(fù)方向平移的速度為每秒1個單位的長度，
平移后的直線解析式為y=$\frac{3}{4}$（x+t）-6，
把點(diǎn)D（0，4）代入得，$\frac{3}{4}$（0+t）-6=4，
解得t=$\frac{40}{3}$，
∴a=$\frac{40}{3}$．；
故答案為：（-2，0）； $\frac{40}{3}$．
（3）由（2）可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{40}{3}$，4），由菱形的性質(zhì)，點(diǎn)A（-5，4），
代入直線平移后的解析式得，$\frac{3}{4}$（-5+t）-6=4，
解得t=$\frac{55}{3}$，
∴點(diǎn)F（$\frac{55}{3}$，0）；
設(shè)直線EF的解析式為m=kt+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{40}{3}k+b=4}\\{\frac{55}{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{5}}\\{b=\frac{44}{3}}\end{array}\right.$，
所以線段EF的解析式為：m=-$\frac{4}{5}$t+$\frac{44}{3}$（$\frac{40}{3}$≤t≤$\frac{55}{3}$）；
（4）∵B（-2，0），D（0，4），
∴?ABCD的中心坐標(biāo)為（-1，2），
∵直線M平分?ABCD的面積，
∴直線MN經(jīng)過中心坐標(biāo)，
∴$\frac{3}{4}$（-1+t）-6=2，
解得t=$\frac{35}{3}$，
即t=$\frac{35}{3}$時，該直線平分?ABCD的面積．

點(diǎn)評 本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象的平移待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，表示出平移后的直線MN的解析式是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．