Question

15．如圖，某市對位于筆直公路AC上兩個小區(qū)A、B的供水路線進行優(yōu)化改造．供水站M在筆直公路AD上，測得供水站M在小區(qū)A的南偏東60°方向，在小區(qū)B的西南方向，小區(qū)A、B之間的距離為300（$\sqrt{3}$+l）米，求供水站M分別到小區(qū)A、B的距離．（結(jié)果可保留根號）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，在△ABM中，∠BAM=30°，∠ABM=45°，AB=300（$\sqrt{3}$+l）米．過點M作MN⊥AB于N，設(shè)MN=x米，用含x的代數(shù)式分別表示AN，BN，根據(jù)AN+BN=AB建立方程，解方程求出x的值，進而求出MA與MB的長．

解答 解：過點M作MN⊥AB于N，設(shè)MN=x米．
在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，
∴MA=2MN=2x，AN=$\sqrt{3}$MN=$\sqrt{3}$x．
在Rt△BMN中，∵∠BNM=90°，∠MBN=45°，
∴BN=MN=x，MB=$\sqrt{2}$MN=$\sqrt{2}$x．
∵AN+BN=AB，
∴$\sqrt{3}$x+x=300（$\sqrt{3}$+l），
∴x=300，
∴MA=2x=600，MB=$\sqrt{2}$x=300$\sqrt{2}$．
故供水站M到小區(qū)A的距離是600米，到小區(qū)B的距離是300$\sqrt{2}$米．

點評 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，“化斜為直”是解三角形的基本思路，常需作垂線（高），原則上不破壞特殊角（30°、45°、60°）．