Question

3．（1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，連接BE，CD，請你完成圖形（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），并寫出：BE與CD的數(shù)量關(guān)系BE=CD；
（2）如圖2，已知△ABC，以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE與CD，BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？說明理由；
（3）運用（1）、（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：
如圖3，要測量池塘兩岸相對的兩點B，E的距離，已經(jīng)測得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的長．

Answer 1

分析 （1）分別以A、B為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接AD，BD，同理連接AE，CE，如圖所示，由三角形ABD與三角形ACE都是等邊三角形，得到三對邊相等，兩個角相等，都為60度，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形CAD與三角形EAB全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證；
（2）BE=CD，理由與（1）同理；
（3）根據(jù)（1）、（2）的經(jīng)驗，過A作等腰直角三角形ABD，連接CD，由AB=AD=100，利用勾股定理求出BD的長，由題意得到三角形DBC為直角三角形，利用勾股定理求出CD的長，即為BE的長．

解答 解：（1）完成圖形，如圖所示：
證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠CAD=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD．
故答案是：BE=CD；

（2）BE=CD，理由同（1），
∵四邊形ABFD和ACGE均為正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠CAD=∠EAB}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；

（3）由（1）、（2）的解題經(jīng)驗可知，過A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°，
則AD=AB=100米，∠ABD=45°，
∴BD=100$\sqrt{2}$米，
連接CD，則由（2）可得BE=CD，
∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，BC=100米，BD=100$\sqrt{2}$米，
根據(jù)勾股定理得：CD=$\sqrt{10{0}^{2}+（100\sqrt{2}）^{2}}$=100$\sqrt{3}$米，
則BE=CD=100$\sqrt{3}$米．

點評 此題考查了四邊形綜合題，涉及的知識有：全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形，等腰直角三角形，以及正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．