Question

15．已知關于x的方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0
（1）求證：無論k取何值，此方程總有實數(shù)根；
（2）若拋物線y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2必通過兩個定點，求這兩個定點坐標；
（3）若此方程有兩個整數(shù)根，求正整數(shù)k的值；
（4）若拋物線y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2與x軸的兩個交點之間的距離為3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）分k=-1和k≠-1兩種情況討論方程根的情況即可；
（2）把線y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2轉化為y=k（x+1）（x+2）+x²-x-2，進而求出兩個定點；
（3）求出方程兩根，一根為-1，另一根為2-$\frac{4k}{k+1}$，根據(jù)方程兩根均為整數(shù)，即可求出k的值；
（4）根據(jù)拋物線與x軸的兩個交點之間的距離為3，即兩根之差的絕對值為3，據(jù)此求出k的值．

解答 解：（1）當k=-1時，方程為-4x-4=0是一元一次方程，有一個實數(shù)根；
當k≠-1時，△=（3k-1）²-4（k+1）（2k-2）=（k-3）²≥0，此時方程有兩個實數(shù)根．
綜上所述，無論k取何值，此方程總有實數(shù)根．

（2）∵y=（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2，
∴y=k（x+1）（x+2）+x²-x-2，
∴當x=-1時，y=0，當x=-2時，y=4，
∴這兩個定點坐標（-1，0）、（-2，4）；

（3）∵方程有一根為x=-1，
則另一根為x=$\frac{2-k}{k+1}$=2-$\frac{4k}{k+1}$，
∵方程的兩個根是整數(shù)，k為正整數(shù)，
∴k=1或3；

（4）依題意得x₁-x₂=3或x₂-x₁=3，
當-1-（2-$\frac{4k}{k+1}$）=3時，
解得k=-3；
當（2-$\frac{4k}{k+1}$）-（-1）=3時，
解得k=0，
綜上k=-3或0．

點評 本題主要考查了拋物線與x軸交點、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及根的判別式的知識，解答本題的關鍵是拋物線與坐標交點和根的判別式的關系，此題難度不大．