Question

8．如圖是拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的部分圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（0，3）和（0，4）之間．則下列結(jié)論：①a+b+c＞0；②3a+b=0；③b²=4a（c-n）； ④一元二次方程ax²+bx+c=n-1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由定點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），即可得出a+b+c＞0，結(jié)論①正確；由拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，可得出2a+b=0，結(jié)論②錯(cuò)誤；由拋物線的對(duì)稱軸及定點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出a+b+c=n、2a+b=0，進(jìn)而即可得出b²=4ac-4an=4a（c-n），結(jié)論③正確；根據(jù)拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為n，即可得出直線y=n-1與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而可得出一元二次方程ax²+bx+c=n-1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)論④正確．綜上即可得出結(jié)論．

解答 解：當(dāng)x=1時(shí)，
由圖象可知：y=a+b+c＞0，結(jié)論①正確；
拋物線對(duì)稱軸為直線x=1，
∴-$\frac{2a}$=1，
∴2a+b=0，結(jié)論②錯(cuò)誤；
∵x=1時(shí)，y=n，
∴a+b+c=n．
∵2a+b=0，
∴a-2a+c=n，
∴c-a=n，
∴b²-4ac=4a²-4ac=4a（a-c）=-4an，
∴b²=4ac-4an=4a（c-n），結(jié)論③正確；
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），
∴直線y=n與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)．
∵n-1＜n，
∴直線y=n-1與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，
即一元二次方程ax²+bx+c=n-1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，結(jié)論④正確．
綜上所述：正確的結(jié)論有①③④．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與x軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)函數(shù)圖象逐一分析四條結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．