Question

8．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2$\sqrt{5}$，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊后得到△AFE，且點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部．將AF延長交邊BC于點(diǎn)G．則 $\frac{CG}{GB}$=$\frac{1}{5}$．

Answer 1

分析 如圖，作輔助線，首先證明△EFG≌△ECG，得到FG=CG（設(shè)為x ），∠FEG=∠CEG；同理可證AF=AD=2$\sqrt{5}$，∠FEA=∠DEA，進(jìn)而證明△AEG為直角三角形，運(yùn)用射影定理即可解決問題．

解答 解：如圖：

連接EG；
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠D=∠C=90°，DC=AB=4；
由題意得：EF=DE=EC=2，∠EFG=∠D=90°；
在Rt△EFG與Rt△ECG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EC}\\{EG=EG}\end{array}\right.$，
∴△EFG≌△ECG，
∴FG=CG（設(shè)為x ），∠FEG=∠CEG；
同理可證：AF=AD=2$\sqrt{5}$，∠FEA=∠DEA，
∴∠AEG=$\frac{1}{2}$×180°=90°，而EF⊥AG，由射影定理得：
2²=2$\sqrt{5}$•x，
∴x=$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$，
∴$\frac{CG}{GB}$=$\frac{1}{5}$．
故答案為：$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評 此題考查矩形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，以考查全等三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用、射影定理等幾何知識點(diǎn)為核心構(gòu)造而成；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了一定的要求．