Question

11．已知，如圖（1），PB為⊙O的割線，直線PC與⊙O有公共點C，且PC²=PA×PB，
（1）求證：①∠PCA=∠PBC；②直線PC是⊙O的切線；
（2）如圖（2），作弦CD，使CD⊥AB，連接AD、BC，若AD=2，BC=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）?根據已知條件得到$\frac{PA}{PC}=\frac{PC}{PB}$，推出△PCA∽△PBC，根據相似三角形的性質得到∠PCA=∠PBC，作直徑CF，連接AF，則∠CAF=90°，得到∠PCA+∠FCA=90°，P過直徑的一端點C，于是得到結論；
?（2）作直徑BE，連接CE、AE．則∠BCE=∠BAE=90°，推出AE∥CD，得到$\widehat{AD}=\widehat{CE}$，根據勾股定理得到BE=2$\sqrt{10}$，即可得出結果．

解答 （1）?證明：∵PC²=PA×PB，
∴$\frac{PA}{PC}=\frac{PC}{PB}$，
∵∠CPA=∠BPC，
∴△PCA∽△PBC，
∴∠PCA=∠PBC，
作直徑CF，連接AF，則∠CAF=90°，
∴∠F+∠FCA=90°，
∵∠F=∠B，∠PCA=∠PBC，
∴∠PCA+∠FCA=90°，
∵PC經過直徑的一端點C，
∴直線PC是⊙O的切線；

?（2）解：作直徑BE，連接CE、AE．則∠BCE=∠BAE=90°，
∵CD⊥AB，
∴AE∥CD，
∴$\widehat{AD}=\widehat{CE}$，
∴AD=CE=2，
∵BC=6，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：
BE²=CE²+BC²=2²+6²=40，
∴BE=2$\sqrt{10}$，
∴⊙O的半徑為$\sqrt{10}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，切線的判定，圓周角定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．