Question

6．如圖，在直角邊分別為3和4的直角三角形中，每多作一條斜邊上的高就增加一個(gè)三角形的內(nèi)切圓，以此類推，依此類推，圖10中有10個(gè)直角三角形的內(nèi)切圓，它們的面積分別記為S₁，S₂，S₃，…，S₁₀，則S₁+S₂+S₃+…+S₁₀=（　　）

• A． 4π
• B． 3π
• C． 2π
• D． π

Answer 1

分析 先找出計(jì)算直角三角形內(nèi)切圓半徑的規(guī)律：半徑r=$\frac{a+b+c}{2}$，長特殊到一般，探究規(guī)律后，利用規(guī)律即可解決問題．

解答 解：圖1，過點(diǎn)O做OE⊥AC，OF⊥BC，垂足為E、F，則∠OEC=∠OFC=90°
∵∠C=90°
∴四邊形OECF為矩形
∵OE=OF
∴矩形OECF為正方形
設(shè)圓O的半徑為r，則OE=OF=r，AD=AE=3-r，BD=4-r
∴3-r+4-r=5，r=$\frac{3+4-5}{2}$=1
∴S₁=π×1²=π
圖2，由S_△ABC=$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×5×CD
∴CD= $\frac{12}{5}$由勾股定理得：AD=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，BD=5-$\frac{9}{5}$=$\frac{16}{5}$，
由（1）得：
⊙O的半徑=$\frac{\frac{9}{5}+\frac{12}{5}-3}{2}$=$\frac{3}{5}$，⊙E的半徑=$\frac{\frac{12}{5}+\frac{16}{5}-4}{2}$=$\frac{4}{5}$，
∴S₁+S₂=π×（ $\frac{3}{5}$）²+π×（ $\frac{4}{5}$）²=π．
圖3，由S_△CDB=$\frac{1}{2}$×$\frac{12}{5}$×$\frac{16}{5}$=$\frac{1}{2}$×4×MD
∴MD=$\frac{48}{25}$，
由勾股定理得：CM=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}-（\frac{48}{25}）^{2}}$=$\frac{36}{25}$，MB=4-$\frac{36}{25}$=$\frac{64}{25}$，
由（1）得：⊙O的半徑=$\frac{3}{5}$，：⊙E的半徑=$\frac{\frac{48}{25}+\frac{36}{25}-\frac{12}{5}}{2}$=$\frac{12}{25}$，
∴⊙F的半徑=$\frac{\frac{48}{25}+\frac{64}{25}-\frac{12}{5}}{2}$=$\frac{16}{25}$，
∴S₁+S₂+S₃=π×（ $\frac{3}{5}$）²+π×（ $\frac{12}{25}$）²+π×（ $\frac{16}{25}$）²=π
…
觀察規(guī)律可知S₁+S₂+S₃+…+S₆=π．
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形的內(nèi)切圓，這是一個(gè)圖形變化類的規(guī)律題，首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解；解決此題的思路為：①先找出計(jì)算直角三角形內(nèi)切圓半徑的規(guī)律：半徑r=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b是直角邊，c為斜邊）；②利用面積相等計(jì)算斜邊上的高；③運(yùn)用勾股定理計(jì)算直角三角形的邊長．