Question

1．如圖所示，拋物線l₁：y=ax²+b（a＜0，b＞0）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，將拋物線l₁繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線l₂，它的頂點(diǎn)為C₁，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A₁
（1）當(dāng)a=-1，b=1時(shí)，求B點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線l₂的解析式；
（2）若a=-$\frac{1}{2}$，且四邊形AC₁A₁C為矩形，求拋物線l₁的解析式．

Answer 1

分析 （1）將a，b的值代入拋物線解析式，即可求得點(diǎn)A，B，C，C₁ 的坐標(biāo)，即可求得拋物線l₂的解析式；
（2）易證△ABC是正三角形，即可求得a、b的關(guān)系，即可解題．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1，b=1，
則拋物線l₁ 解析式為：y=-x²+1，
當(dāng)y=0時(shí)，x=1或-1，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，0）；點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，1）；
∵拋物線l₂是拋物線l₁旋轉(zhuǎn)而來，∴點(diǎn)C₁ 坐標(biāo)為（2，-1），點(diǎn)A₁ 坐標(biāo)為（3，0）；
設(shè)拋物線l₂的解析式為y=ax²+bx+c，∵拋物線l₂是經(jīng)過A₁，C₁，B點(diǎn)，
代入得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{4a+2b+c=-1}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得：a=1，b=-4，c=3，
∴拋物線l₂的解析式y(tǒng)=x²-4x+3；

（2）連接AC，CC₁，AC₁，

∵四邊形AC₁A₁C為矩形，∴AB=BC，
∵拋物線l₁關(guān)于y軸對(duì)稱，∴AC=BC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC為等邊三角形；
∵當(dāng)y=ax²+b=0時(shí)，x=±$\sqrt{\frac{a}}$，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（-$\sqrt{\frac{a}}$，0），點(diǎn)B坐標(biāo)（$\sqrt{\frac{a}}$，0），點(diǎn)C坐標(biāo)（0，b）；
∵在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{{AO}^{2}{+CO}^{2}}$=$\sqrt{\frac{a}{+b}^{2}}$，AB=2$\sqrt{\frac{a}}$，
∴$\sqrt{\frac{a}{+b}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{a}}$，
解得：b=$\frac{3}{a}$=-6；
∴拋物線l₁的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了代入法求二次函數(shù)解析式的方法，考查了對(duì)稱的性質(zhì)，考查了矩形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，考查了正三角形的判定和性質(zhì)．