Question

10．已知：如圖，在邊長為6cm的正方形ABCD中，動點M、N從點A分別沿邊AD、AB運動至點D、B停止，動點P、Q從點C分別沿邊CB、CD運動至點B、D停止，它們同時出發(fā)，設動點速度均為1cm/s，運動時間為t s，連接MN、NP、PQ、QM．
（1）試說明在運動過程中，四邊形MNPQ是矩形；
（2）在運動過程中，當t為何值時，四邊形MNPQ是正方形？
（3）在運動過程中，當t為何值時，△PNB沿折痕PN翻折得到△PNB′，使得 點B′恰好落在MQ上？
（4）將△MNA、△PNB、△PQC、△MQD同時沿折痕MN、PN、QP、MQ翻折，得△MNA′、△PNB′△PQC′、△MQD′，若其中兩個三角形重疊部分的面積為4cm²，請直接寫出動點運動時間t的值．

Answer 1

分析 （1）首先證明△QCP≌△MAN、△AMN≌△CQP，從而得到MN=QP，MQ=NP，然后再證明∠MQP=90°；
（2）由正方形的性質可知：MQ=QP，然后證明△DQM≌△CQP，從而得到QC=DQ=3；
（3）如圖1所示，首先證明四邊形B′NBP為正方形從而得到NM=OB′=OB．，然后由勾股定理求得，MN、PB的長，然后由BC=CP+PB，列方程求解即可；
（4）如圖2所示；根據題意可知：四邊形QCPC′、四邊形B′A′D′C′、四邊形MANA′均為正方形，最后根據AM+B′A′+CP=6，列方程求解即可；如圖3所示：根據DM+D′C′+PB=6列方程求解．

解答 證明：（1）∵動點速度均為1cm/s，
∴QC=CP=AM=AN．
∵ABCD為正方形，
∴AB=BC=CD=AD．
∴QO=MD=BN=BP．
在△QCP和△MAN中$\left\{\begin{array}{l}{QC=AM}\\{∠C=∠A}\\{PC=AN}\end{array}\right.$，
∴△QCP≌△MAN．
∴MN=QP．
同理：MQ=NP．
∴四邊形MNPQ為平行四邊形．
∵∠C=90°，QC=CP，
∴∠CQP=45°．
同理：∠DQM=45°．
∴∠MQP=90°．
∴四邊形MNPQ為矩形．
（2）∵四邊形MNPQ為正方形，
∴MQ=QP．
∵∠CQP=45°，∠DQM=45°，
∴∠CQP=∠DQM．
在△DQM和△CQP中$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠D}\\{∠CQP=∠DQM}\\{QP=QM}\end{array}\right.$，
∴△DQM≌△CQP．
∴QC=DQ=3．
∴t=3s．
（3）如圖1所示

∵△PBN為等腰直角三角形，
由折疊的性質可知四邊形B′NBP為正方形．
∴NM=OB′=OB．
在△MNA中，$MN=\sqrt{A{M}^{2}+A{N}^{2}}=\sqrt{2}t$，在△POB中，PB=$\sqrt{O{P}^{2}+O{B}^{2}}=2t$．
∵BC=CP+PB，
∴t+2t=6．
∴t=2s．
（4）如圖2所示；

∵△MNA、△BNP、△QCP、△DQM均為等腰直角三角形，
由翻折的性質可知：四邊形QCPC′、四邊形B′A′D′C′、四邊形MANA′均為正方形．
∵重疊部分的面積為4，
∴B′A′=2．
∵AM+B′A′+CP=6．
∴2t+2=6．
∴t=2s．
如圖3所示：DM+D′C′+PB=6．

∴（6-t）+2+（6-t）=6．
解得：t=4．
綜上所述，當t=2s或4s時，重合部分的面積為4cm²．

點評 本題主要考查的翻折的性質、等腰直角三角形的性質、矩形的判定、全等三角形的性質和判定，根據題意畫出符合題意的圖形是解題的關鍵．