Question

4．如圖，已知菱形ABCD的邊長為10，E為AB中點，對角線BD上有兩個動點P，Q總保持PQ=2，若BD=16，則四邊形AEPQ的周長最小值為（　　）

• A． 16
• B． 21
• C． 7+$\sqrt{85}$
• D． 7+$\sqrt{61}$

Answer 1

分析 將菱形ABCD放置在平面直角坐標系中，使得B為原點，BD在x的正半軸上，根據(jù)題意得出A、B、E三點的坐標，將A平行向左移動2個單位到A'點，作A'關(guān)于x軸的對稱點F，則F（6，-6），連EF，交x軸于點P，在x軸上向正方向上截取PQ=2，此時四邊形AEPQ的周長最小，AQ+EP=A'P+EP=FP+EP=EF，由此即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖所示：
將菱形ABCD放置在平面直角坐標系中，使得B為原點，BD在x的正半軸上，
∵菱形ABCD的邊長是10，對角線BD=16，點E是AB的中點，
∴A（8，6），B（0，0），E（4，3），將A平行向左移動2個單位到A'點，則A'（6，6），作A'關(guān)于x軸的對稱點F，則F（6，-6），連EF，交x軸于點P，在x軸上向正方向上截取PQ=2，
此時，四邊形AEPQ的周長最小，
∵AE=$\frac{AB}{2}$=5，PQ=2，AQ+EP=A'P+EP=FP+EP=EF，
四邊形四邊形AEPQ的周長=5+2+$\sqrt{（4-6）^{2}+（3+6）^{2}}$=7+$\sqrt{85}$．
故選C．

點評 本題考查的是軸對稱-最短路線問題，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．