Question

2．如圖，在矩形ABCD中，P是BC上一點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，PD平分∠APC，PE⊥PD，連接DE交AP于F，在以下判斷中，不正確的是（　　）

• A． 當(dāng)P為BC中點(diǎn)，△APD是等邊三角形
• B． 當(dāng)△ADE∽△BPE時(shí)，P為BC中點(diǎn)
• C． 當(dāng)AE=2BE時(shí)，AP⊥DE
• D． 當(dāng)△APD是等邊三角形時(shí)，BE+CD=DE

Answer 1

分析 A、先判斷出△APB≌△DPC，進(jìn)而可以得出∠APD=60°，即可得出結(jié)論；
B、雖然題目中有相似三角形和直角三角形，但沒有告訴線段與線段之間的倍數(shù)關(guān)系和沒出現(xiàn)含30°的直角三角形，所以沒辦法得出點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)；
C、先求出∠BAP，進(jìn)而得出∠ADE=∠PDE，即可判斷出△ADE≌△PDE，最后用三角形三線合一的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
D、先求出∠BPE=∠APE=∠PAB=30°，再用含30°的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得出結(jié)論．

解答 解：A、∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B，
∵點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，
∴PB=PC，
在△APB和△DPC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠ABP=∠DCP}\\{PB=PC}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△DPC，
∴PA=PD，∠APB=∠DPC，
∵PD平分∠APC，
∴∠APD=∠CPD，
∴∠APB=∠APD=∠CPD，
∵∠APB+∠APD+∠CPD=180°，
∴∠APD=60°，
∵PA=PD，
∴△APD是等邊三角形；
∴A正確，故A不符合題意；

C、∵PD⊥PE，
∴∠BPE+∠DPC=90°，∠APE+∠APD=90°，
∵∠APD=∠CPD，
∴∠APE=∠BPE，
∴$\frac{BP}{AP}=\frac{BE}{AE}$，
∵AE=2BE，
∴$\frac{BP}{AP}=\frac{1}{2}$，
在Rt△ABP中，sin∠BAP=$\frac{BP}{AP}=\frac{1}{2}$，
∴∠BAP=30°，
∴∠APB=60°，
∴∠BPE=∠APE=30°=∠BAP，
∴AE=PE，
∵EA⊥AD，EP⊥PD，
∴∠ADE=∠PDE，
在△ADE和△PDE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠PDE}\\{∠DAE=∠DPE}\\{AE=PE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△PDE，
∴∠AED=∠PED，
∵AE=PE，
∴DE⊥AP，
∴C正確，故C不符合題意；

D、∵△APD是等邊三角形，
∴AP=DP，∠APD=60°，
∴∠CPD=60°，
∴∠APB=60°，
∴∠BPE=∠APE=∠PAB=30°
∴AE=PE
設(shè)BE=a，
在Rt△PBE中，BP=$\sqrt{3}$BE=$\sqrt{3}$a，PE=2a，
∴AE=2a，
∴CD=AB=BE+AE=3a，
易證△APB≌△DPC，
∴PB=PC，
∴AD=BC=2BP=2$\sqrt{3}$a，
在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得，DE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{D}^{2}}$=4a，
∵BE+CD=a+3a=4a=DE，
∴D正確，故D不符合題意；
∴符合題意的只有B．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵：A、判斷出△APB≌△DPC，C、求出∠BAP，D、求出∠BPE=∠APE=∠PAB=30°，是一道綜合性比較強(qiáng)的題目．