Question

14．矩形ABCD中，AB=10，BC=8，點(diǎn)P為AD邊上的一點(diǎn)，沿直線BP將△ABP翻折至△EBP（點(diǎn)A落在點(diǎn)E處）．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E落在CD邊上，則△EBC的面積S_△BEC=24；
（2）如圖2，PE、CD相交于點(diǎn)M，且MD=ME，求折痕BP的長；
（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)時(shí)，連接DE，則圖中與∠APB相等的角的個(gè)數(shù)為4．

Answer 1

分析 （1）由折疊得出BE=10，進(jìn)而由勾股定理求出CE，最后用三角形的面積公式求解即可；
（2）先判斷出△DPM≌△EQM，進(jìn)而用勾股定理求出AP，即可得出結(jié)論；
（3）由折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由折疊知，BE=AB=10，
在Rt△BCE中，BC=8，根據(jù)勾股定理得，CE=6，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$CE•BC=24，
故答案為24，

（2）如圖2，

當(dāng)MD=ME時(shí)，設(shè)BE交DC與點(diǎn)Q，
在△DPM和△EQM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PDM=QEM}\\{DM=ME}\\{∠PMD=QME}\end{array}\right.$，
∴△DPM≌△EQM
∴DP=EQ   DQ=EP，
設(shè)AP=x，則DP=8-x=EQ   DQ=EP=AP=x
∴CQ=10-x   BQ=2+x，
在Rt△CBQ中，由勾股定理得：64+（10-x）²=（x+2）²，
解得x=$\frac{20}{3}$，即AP=$\frac{20}{3}$，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP=$\frac{10\sqrt{13}}{3}$，

（3）由折疊知，∠BPE=∠APB，AP=PE，
∵點(diǎn)P是AD中點(diǎn)，
∴AP=DP，
∴PD=PE，
∴∠PDE=∠PED，
∵2∠PDE+∠DPE=180°，2∠APB+∠DPE=180°，
∴∠PDE=∠APB，
∴∠PDE=∠PED=∠BPE=∠APB，
∵∠APB+∠ABP=90°，∠PBC+∠ABP=90°，
∴∠APB=∠PBC
故答案為4．

點(diǎn)評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，解（1）的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求出CE，解（2）的關(guān)鍵是關(guān)鍵勾股定理求出AP，解（3）的關(guān)鍵是由等腰三角形的性質(zhì)得出∠PDE=∠APB，是一道中等難度的中考�？碱}．