Question

3．在直角坐標(biāo)系xOy中，對于點(diǎn)P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：若y′=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥0）}\\{-y（x＜0）}\end{array}\right.$，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“可控變點(diǎn)”．請問：若點(diǎn)P在函數(shù)y=-x²+16（-5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點(diǎn)”Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是-16≤y′≤16，則實(shí)數(shù)a的值是4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)新定義，分析函數(shù)y=-x²+16在新定義下點(diǎn)P的“可控變點(diǎn)”橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，在分析a的取值范圍．

解答 解：由定義可知：
①當(dāng)0≤x≤a時，y′=-x²+16，此時，拋物線y′的開口向下，故當(dāng)0≤x≤a時，y′隨x的增大而減小（如圖）
即：-a²+16≤y′≤16，
  ②當(dāng)-5≤x＜0時，y′=x²-16，拋物線y′的開口向上，故當(dāng)-5≤x＜0時，y′隨x的增大而減�。ㄈ鐖D），
即：-16＜y′≤9，
∵點(diǎn)P在函數(shù)y=-x²+16（-5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點(diǎn)”Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是-16≤y′≤16，
∴-a²+16≥-16
∴a²≤32，
∴-4$\sqrt{2}$≤a≤4$\sqrt{2}$，
又∵-5≤x≤a，
∴-a=4$\sqrt{2}$，

在函數(shù)y=-x²+16圖象上的點(diǎn)P，當(dāng)a=4$\sqrt{2}$時，其“可控變點(diǎn)”Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是-16≤y′≤16，
故答案為4$\sqrt{2}$

點(diǎn)評 本題考查了在新定義下二次函數(shù)在指定區(qū)間上的自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)情況，解題的關(guān)鍵是理解在新定義下x與y′的相應(yīng)區(qū)間．