Question

20．如圖，P是正△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠APC=130°，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BP′A，連接PP′，當(dāng)∠BPC為多少度時(shí)，△APP′是等腰三角形？

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△P′PB是等邊三角形，得出∠P′PB=∠PP′B=60°，設(shè)∠BPC=x時(shí)，由△APP′是等腰三角形，則∠AP′B=x，∠AP′P=x-60°，分三種情況分別討論求得∠APP′的值，根據(jù)∠APP′+∠P′PB+∠BPC+∠APC=360°，列出等式即可求得．

解答 解：∵PB=P′B，∠PBP′=60°，
∴△P′PB是等邊三角形，
∴∠P′PB=∠PP′B=60°，
設(shè)∠BPC=x時(shí)，由△APP′是等腰三角形，則∠AP′B=x，
∴∠AP′P=x-60°，
①當(dāng)P′A=P′P時(shí)，則∠P′PA=∠PAP′=$\frac{180°-（x-60°）}{2}$，
∵∠APP′+∠P′PB+∠BPC+∠APC=360°，
∴$\frac{180°-（x-60°）}{2}$+60°+x+130°=360°，
解得x=100°；
②當(dāng)P′A=PA時(shí)，則∠P′PA=∠PP′A=x-60°
∵∠APP′+∠P′PB+∠BPC+∠APC=360°，
∴x-60°+60°+x+130°=360°，
解得x=115°；
③當(dāng)P′P=PA時(shí)，則∠P′PA=180°-2（x-60°）=300°-2x
∵∠APP′+∠P′PB+∠BPC+∠APC=360°，
∴300°-2x+60°+x+130°=360°，
解得x=130°；
所以，當(dāng)∠BPC為100°或115°或130°，△APP′是等腰三角形．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．