Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a（x+2）²+4交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，連接AC、BC，OB=1，點(diǎn)P、Q分別是線段AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、B點(diǎn)重合）．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式．
（2）如圖1，連接AD與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)M，在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、M、P、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)N坐標(biāo)；若不存在說明理由．
（3）如圖2，若∠CPQ=∠CAB，是否存在點(diǎn)P使△CPQ為等腰三角形，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由OB=1可知B的坐標(biāo)，代入y=a（x+2）²+4，根據(jù)待定系數(shù)法即可確定解析式；
（2）根據(jù)解析式求得D點(diǎn)的坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而確定直線AD的解析式，把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入求得M的坐標(biāo)（-2，$\frac{12}{9}$），再把±$\frac{12}{9}$代入拋物線的解析式即可確定N的坐標(biāo)；
（3）分三種情況分別談?wù)撉蟮眉纯桑?/p>

解答 解：（1）∵OB=1，
∴B（1，0），
代入y=a（x+2）²+4得，0=9a+4，
∴a=-$\frac{4}{9}$，
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4；
（2）令x=0，則y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4=-$\frac{4}{9}$×4+4=$\frac{20}{9}$，
∴D（0，$\frac{20}{9}$），
由y=a（x+2）²+4可知頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，4），
∵B（1，0），
∴A（-5，0），
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-5k+b=0}\\{b=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{9}}\\{b=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$
∴直線AD的解析式為y=$\frac{4}{9}$x+$\frac{20}{9}$，
把x=-2代入得y=$\frac{4}{9}$×（-2）+$\frac{20}{9}$=$\frac{12}{9}$，
∴M（-2，$\frac{12}{9}$），
把y=$\frac{12}{9}$代入y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4得，$\frac{12}{9}$=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4，
解得x=-2+$\sqrt{6}$或x=-2-$\sqrt{6}$，
∴N（-2+$\sqrt{6}$，$\frac{12}{9}$）或（-2-$\sqrt{6}$，$\frac{12}{9}$）；
把y=-$\frac{12}{9}$代入y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4得，-$\frac{12}{9}$=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4，
解得x=-2+2$\sqrt{3}$或x=-2-2$\sqrt{3}$，
∴N（-2+2$\sqrt{3}$，-$\frac{12}{9}$）或（-2-2$\sqrt{3}$，-$\frac{12}{9}$），
綜上，N點(diǎn)的坐標(biāo)為N（-2+$\sqrt{6}$，$\frac{12}{9}$）或（-2-$\sqrt{6}$，$\frac{12}{9}$）或（-2+2$\sqrt{3}$，-$\frac{12}{9}$）或（-2-2$\sqrt{3}$，-$\frac{12}{9}$）；
（3）存在點(diǎn)P使△CPQ為等腰三角形，
當(dāng)CQ=PQ時(shí)，則∠CPQ=∠PCQ，
∵∠CPQ=∠CAB，
∴∠CAB=∠PCQ，
∴PA=PC，
設(shè)P（x，0），
∴PC²=（x+2）²+4²=PA²=（-5-x）²，
∴x=-$\frac{5}{6}$，
∴P（-$\frac{5}{6}$，0）；
當(dāng)CQ=PC時(shí)，則∠CPQ=∠CQP，
∵∠CPQ=∠CAB，
∴∠CAB=∠CQP，
∴Q與A重合，
∴P與B重合，
∴P（1，0），
當(dāng)PQ=PC時(shí)，則∠PCQ=∠CQP，
∵∠PCQ=∠CAB+∠APQ，∠APC=∠CPQ+∠APQ，∠CPQ=∠CAB，
∵∠PCQ=∠APC．
∴PA=AC，
∵AC=$\sqrt{（-5+2）^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴PA=5，
∴P（0，0），
綜上，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\frac{5}{6}$，0）或（1，0）或（0，0）．

點(diǎn)評 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及分類討論思想的應(yīng)用等．