Question

15．如圖，拋物線y=ax²+2ax+c與直線y=x+b交于A（-2，-1）、C（1，2）兩點，與y軸交于B，D、E是直線y=x+b與坐標軸的交點，
（1）求直線與拋物線的解析式；
（2）在坐標軸上找出所有的點F，使△CEF與△ABD相似，直接寫出點F的坐標；
（3）P為x軸上一點，Q為此拋物線上一點，是否存在P，使得以A、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別把點A、C的橫縱坐標分別代入拋物線y=ax²+2ax+c與直線y=x+b中，求出a、b、c的值，然后即可求得解析式；
（2）如圖①CF⊥x軸于F，則此時△CEF和△ABD相似，②作EC⊥CF′，交x軸于F′，此時△CEF′和△ABD相似，分別寫出符合題意的F的坐標即可；
（3）設(shè)P（a，0），若AC為邊，則Q（a+3，3），若AC為對角線，則Q（-1-a，1），再根據(jù)已知條件求出滿足題意a的值，即可求出P的坐標．

解答 解：（1）將點A（-2，-1），C（1，2）代入拋物線得：
$\left\{\begin{array}{l}{4a-4a+c=-1}\\{a+2a+c=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為 y=x²+2x-1，
將點A（-2，-1）代入直線解析式得：
-2+b=-1，
解得：b=1，
∴直線的解析式為：y=x-1；

（2）符合條件的點有2個：
如圖①CF⊥x軸于F，則此時△CEF和△ABD相似，
∵C（1，2），
∴F（1，0），
如圖②作EC⊥CF′，交x軸于F′，此時△CEF′和△ABD相似，
∵OD=OE=1，
EF=FF′=1+1=2，
∴F（3，0）；

（3）設(shè)P（a，0），
若AC為邊，如圖③，則Q（a+3，3），
∴（a+3）²+2（a+3）-1=3，
∴a₁=-4+$\sqrt{5}$，a₂=-4-$\sqrt{5}$，
∴P（-4+$\sqrt{5}$，0）或（-4-$\sqrt{5}$，0），
若AC為對角線，如圖④，則Q（-1-a，1），
∴（-1-a）²+2（-1-a）-1=1，
∴a₁=$\sqrt{3}$，a₂=-$\sqrt{3}$，
∴P的坐標為：（$\sqrt{3}$，0）或（-$\sqrt{3}$，0）．

點評 此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、關(guān)于x軸對稱的點的坐標特征、函數(shù)圖象上的點的坐標意義以及平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，在第（3）題中，一定要把所有的情況都考慮到，做到不漏解．