Question

5．如圖，Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4cm，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉90°到△BDE的位置，則：
（1）點A運動的路徑長為2πcm；
（2）點C運動的路徑長為πcm；
（3）線段BC掃過的面積為πcm²；
（4）線段AB掃過的面積為4πcm²；
（5）線段AC掃過的面積為3πcm²；
（6）△ABC掃過的面積為（4π+2$\sqrt{3}$）cm²．

Answer 1

分析 （1）根據弧長公式求出$\widehat{AE}$即可；
（2）先根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出BC=$\frac{1}{2}$AB=2cm，再根據弧長公式求出$\widehat{CD}$即可；
（3）線段BC掃過的面積是以BC為半徑的圓面積的$\frac{1}{4}$；
（4）線段AB掃過的面積是以AB為半徑的圓面積的$\frac{1}{4}$；
（5）線段AC掃過的面積=AB掃過的扇形面積-BC掃過的扇形面積；
（6）△ABC掃過的面積=線段AB掃過的面積+三角形ABC的面積．

解答 解：（1）點A運動的路徑長為：$\frac{90π×4}{180}$=2π（cm）；
（2）∵Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4cm，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2cm，
∴點C運動的路徑長為：$\frac{90π×2}{180}$=π（cm）；
（3）線段BC掃過的面積為：$\frac{1}{4}$π×2²=π（cm²）；
（4）線段AB掃過的面積為：$\frac{1}{4}$π×4²=4π（cm²）；
（5）線段AC掃過的面積為：4π-π=3π（cm²）；
（6）∵Rt△ABC中，∠A=30°，AB=4cm，
∴AC=AB•cosA=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$（cm），
∴△ABC掃過的面積為：4π+$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=4π+2$\sqrt{3}$（cm²）．
故答案為2πcm，πcm，πcm²，4πcm²，3πcm²，（4π+2$\sqrt{3}$）cm²．

點評 本題考查了旋轉的性質，直角三角形的性質，弧長的計算，扇形的面積的計算，熟記性質與計算公式是解題的關鍵．