Question

8．已知，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，將矩形ABCD繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到矩形A′B′C′D′，直線DA′，B′C′分別與直線BC相交于點(diǎn)P，Q．
（1）①如圖1，當(dāng)矩形A′B′C′D的頂點(diǎn)B′落在射線DC上時(shí)$\frac{BP}{PQ}$=$\frac{7}{15}$；
    ②如圖2，當(dāng)矩形A′B′C′D的頂點(diǎn)B′落在線段BC的延長線上時(shí)，DP=$\frac{25}{4}$；
（2）①如圖3，當(dāng)點(diǎn)P位于線段BC上時(shí)，求證：DP=PQ；
    ②在矩形ABCD旋轉(zhuǎn)過程中（旋轉(zhuǎn)角0°＜α≤90°），請直接寫出BP=$\frac{1}{2}$BQ時(shí)，CP的長：$9+\frac{3}{2}\sqrt{6}$．
（3）在矩形ABCD旋轉(zhuǎn)過程中（旋轉(zhuǎn)角45°＜α≤180°），以點(diǎn)D，B′，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為平行四邊形？如果能，請直接寫出此時(shí)CP的長（或CP的取值范圍）；如果不能，請簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出邊的比值即可；
②由全等三角形的判定和性質(zhì)得出邊的關(guān)系，再根據(jù)勾股定理得出方程解答即可；
（2）①由矩形的性質(zhì)得出線段相等，再利用全等三角形進(jìn)行判斷，利用其性質(zhì)證明即可；
②根據(jù)全等三角形判定和性質(zhì)得出線段關(guān)系，再利用勾股定理得出方程解答即可；
（3）分幾種情況進(jìn)行分析得出以點(diǎn)D，B′，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形能否成為平行四邊形，進(jìn)而得出CP的值．

解答 解：（1）①∵將矩形ABCD繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到矩形A′B′C′D′，AB=6，BC=8，
∴△CDP∽△A'DB'，
∴CP=$\frac{9}{2}$，
同理CQ=3，
∴BP=$\frac{7}{2}$，PQ=$\frac{15}{2}$，
∴$\frac{BP}{PQ}=\frac{7}{15}$；
②在△DCP和△A'DB'中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPC=∠B'PA'}\\{∠DCP=∠A'=90°}\\{DC=B'A'}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△A'DB'（AAS），
∴CP=A'P，
設(shè)DP=x，
∴DP=B'P，
設(shè)B'P=x，可得（8-x）²+6²=x²，
解得：x=$\frac{25}{4}$；
（2）①如圖1，過點(diǎn)Q作QH⊥DA'于H，
則∠QHD=∠HDC'=∠C'=90°，
∴四邊形QHDC'為矩形，
∴QH=DC'=DC，
在△DCP和△QHP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QHP=∠DCP=90°}\\{∠QPH=∠DPC}\\{QH=DC}\end{array}\right.$，
∴△DCP≌△QHP（AAS），
∴DP=PQ，
②（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B上方時(shí)，如圖2：
同（2）①可得∴△DCP≌△QHP（AAS），
∴DP=PQ，
當(dāng)BP=$\frac{1}{2}$BQ時(shí)，BQ=2BP=2x，
∴DP=PQ=BP+BQ=3x，
在Rt△PCD中，（8+x）²+6²=（3x）²，
解得：${x}_{1}=1+\frac{3}{2}\sqrt{6}，{x}_{2}=1-\frac{3}{2}\sqrt{6}$（小于0，舍去），
∴PC=BC+BP=$9+\frac{3}{2}\sqrt{6}$，
當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，則DP=PQ=BP=x，PC=8-x，
在Rt△PCD中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=$\frac{25}{4}$，
∴PC=BC-PB=8-$\frac{25}{4}$=$\frac{7}{4}$，
∴矩形ABCD旋轉(zhuǎn)（當(dāng)0°＜α≤90°時(shí)）過程中，
當(dāng)BP=$\frac{1}{2}$BQ時(shí)，CP的長是$9+\frac{3}{2}\sqrt{6}$或$\frac{7}{4}$，
（3）設(shè)矩形DA′B′C′的對角線于直線BC的交點(diǎn)為S，
①當(dāng)B′在直線BC的右側(cè)時(shí)，雖然DP∥B′Q，
但總有DS≥DC＞$\frac{1}{2}D{B}^{'}$=5，即PQ與DB′不互相平分，
所以D，B′，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形不能構(gòu)成平行四邊形；
②當(dāng)B′在直線BC上時(shí)，B′，P，Q三點(diǎn)在一條直線上，
所以D，B′，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形不能構(gòu)成平行四邊形；
③當(dāng)B′落在線段AD的延長線上時(shí)，DP∥B′Q，
且DB′∥PQ，所以四邊形DB′PQ是平行四邊形；
此時(shí)CP=D′A=8，
④當(dāng)B′在直線BC與直線AD所夾區(qū)域時(shí)，雖然DP∥B′Q，
但DB′與PQ不平行，所以D，B′，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形不能構(gòu)成平行四邊形；
綜上所述，當(dāng)B′落在線段AD的延長線上時(shí)，四邊形DB′PQ是平行四邊形，此時(shí)CP=8．

點(diǎn)評 本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，找出兩個(gè)三角形的高的關(guān)系是本題的關(guān)鍵．