Question

2．如圖，已知y=-x+m（m＞4）過動點A（m，0），并與反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象交于B、C兩點（點B在點C的左邊），以O(shè)A為直徑作反比例函數(shù)y=$\frac{4}{x}$的圖象相交的半圓，圓心為P，過點B作x軸的垂線，垂足為E，并于半圓P交于點D．
（1）當(dāng)m=5時，求B、C兩點的坐標(biāo)．
（2）求證：無論m取何值，線段DE的長始終為定值．
（3）記點C關(guān)于直線DE的對稱點為C′，當(dāng)四邊形CDC′E為菱形時，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把M=5代入一次函數(shù)解析式中，與反比例函數(shù)列方程組解出即可；
（2）作輔助線，如圖1，證明△ODE∽△DAE，列比例式得：$\frac{DE}{AE}=\frac{OE}{DE}$，則DE²=OE•AE=OE•BE=4，所以線段DE的長始終為定值；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)求出C的坐標(biāo)，代入一次函數(shù)的解析式中可得m的值．

解答 解：（1）把m=5代入y=-x+m中得：y=-x+5，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$   解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴B（1，4），C（4，1）；
（2）如圖1，連接OD、AD，
∵A（m，0），
∴OA=m，
y=-x+m中，當(dāng)x=0時，y=m，則F（0，m），
∴OF=m，
∴△AOF是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°，
∵BE⊥OA，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE=AE，
∵OA是⊙P的直徑，
∴∠ODA=90°，
∵∠ODE=∠OAD，
∵∠OED=∠DEA=90°，
∴△ODE∽△DAE，
∴$\frac{DE}{AE}=\frac{OE}{DE}$，
∴DE²=OE•AE=OE•BE，
∵B是反比例函數(shù)上的點，即OE•BE=4
∴無論m取何值，線段DE的長始終為定值；
（3）如圖3，連接CC′，設(shè)DE與CC′交于G，
由（2）得：DE²=4，
∴DE=2，
∵四邊形CDC′E為菱形，
∴DG=EG=1，
∴C的縱坐標(biāo)為1，
當(dāng)y=1時，$\frac{4}{x}$=1，x=4，
∴C（4，1），
把C（4，1）代入y=-x+m中得：-4+m=1，
m=5．

點評 本題是圓與函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、利用方程組的解求兩函數(shù)的交點坐標(biāo)、菱形的性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)和判定等知識，涉及的知識點較多，比較復(fù)雜，熟練掌握三角形相似的判定及菱形的性質(zhì)是關(guān)鍵．