Question

2．已知：如圖①，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接CP．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與A、B不重合）時(shí)，以PC為邊在PC上方作等邊△CPQ，連結(jié)AQ，如圖①．請(qǐng)你猜想線段AQ與BP之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其它作法與（1）相同，如圖②．請(qǐng)你猜想（1）中的結(jié)論是否成立？并證明你的猜想；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與A、B不重合）時(shí)，以PC為邊分別在上方、下方作等邊△CPE和等邊△CPF，連結(jié)AE、BF，如圖③．請(qǐng)你猜想線段AE、BF、AB之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想；
（4）當(dāng)點(diǎn)P邊BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其它作法與（3）相同，如圖④．請(qǐng)你猜想（3）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)你證明；若不成立，請(qǐng)你繼續(xù)猜想是否有新的結(jié)論？若有，是什么結(jié)論，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）證明△BPC和△AQC全等，可以得出AQ=BP關(guān)系；
（2）證明△BPC和△AQC全等，可以得出AQ=BP關(guān)系；
（3）證明△BFC和△APC全等，△PBC和△EAC全等，可以得出BF=AP，BP=AE關(guān)系，再得出AE、BF、AB之間的關(guān)系；
（4）證明△BFC和△APC全等，△PBC和△EAC全等，可以得出BF=AP，BP=AE關(guān)系，再得出AE、BF、AB之間的關(guān)系．

解答 解：（1）AQ=BP，理由如下：
∵△ABC，△CPQ是等邊三角形，
∴BC=AC，CP=CQ，
∴∠ACB=∠QCP，
∴∠PCB=∠QCA，
在△BPC和△AQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠PCB=∠QCA}\\{CP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△AQC（SAS），
∴AQ=BP；
（2）成立，理由如下；
∵△ABC，△CPQ是等邊三角形，
∴BC=AC，CP=CQ，
∴∠ACB=∠QCP，
∴∠PCB=∠QCA，
在△BPC和△AQC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠PCB=∠QCA}\\{CP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△BPC≌△AQC（SAS），
∴AQ=BP；
（3）AE+BF=AB，理由如下：
∵△ABC，△PFC是等邊三角形，
∴CF=CP，BC=AC，
∴∠PCF=∠ACB，
∴∠BCF=∠ACP，
在△PBC和△EAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CP}\\{∠BCF=∠ACP}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△EAC（SAS），
∴BF=AP；
同理可得：AE=BP，
∴AB=AP+BP=BF+AE；
（4）不成立，AE-BF=AB，理由如下：
∵△ABC，△PFC是等邊三角形，
∴CF=CP，BC=AC，
∴∠PCF=∠ACB，
∴∠BCF=∠ACP，
在△PBC和△EAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CP}\\{∠BCF=∠ACP}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△EAC（SAS），
∴BF=AP；
同理可得：AE=BP，
∴BP=AE=AB+AP=AB+BF，
∴AE-BF=AB．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊之間關(guān)系是解題關(guān)鍵．