Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中，將一點（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不相等）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互換后得到的點叫這一點的“互換點”，如（-3，5）與（5，-3）是一對“互換點”．
（1）任意一對“互換點”能否都在一個反比例函數(shù)的圖象上？為什么？
（2）M、N是一對“互換點”，若點M的坐標(biāo)為（m，n），求直線MN的表達(dá)式（用含m、n的代數(shù)式表示）；
（3）在拋物線y=x²+bx+c的圖象上有一對“互換點”A、B，其中點A在反比例函數(shù)y=-$\frac{2}{x}$的圖象上，直線AB經(jīng)過點P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），求此拋物線的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）設(shè)這一對“互換點”的坐標(biāo)為（a，b）和（b，a）．①當(dāng)ab=0時，它們不可能在反比例函數(shù)的圖象上，②當(dāng)ab≠0時，由$b=\frac{k}{a}$可得$a=\frac{k}$，于是得到結(jié)論；
（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)點A（p，q），則$q=-\frac{2}{p}$，由直線AB經(jīng)過點P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），得到p+q=1，得到q=-1或q=2，將這一對“互換點”代入y=x²+bx+c得，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）不一定，
設(shè)這一對“互換點”的坐標(biāo)為（a，b）和（b，a）．
①當(dāng)ab=0時，它們不可能在反比例函數(shù)的圖象上，
②當(dāng)ab≠0時，由$b=\frac{k}{a}$可得$a=\frac{k}$，即（a，b）和（b，a）都在反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（k≠0）的圖象上；

（2）由M（m，n）得N（n，m），設(shè)直線MN的表達(dá)式為y=cx+d（c≠0）．
則有$\left\{\begin{array}{l}mc+d=n\\ nc+d=m\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}c=-1\\ d=m+n\end{array}\right.$，
∴直線MN的表達(dá)式為y=-x+m+n；

（3）設(shè)點A（p，q），則$q=-\frac{2}{p}$，
∵直線AB經(jīng)過點P（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），由（2）得$\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}+p+q$，
∴p+q=1，
∴$p-\frac{2}{p}=1$，
解并檢驗得：p=2或p=-1，
∴q=-1或q=2，
∴這一對“互換點”是（2，-1）和（-1，2），
將這一對“互換點”代入y=x²+bx+c得，
∴$\left\{\begin{array}{l}1-b+c=2\\ 4+2b+c=-1\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ c=-1\end{array}\right.$，
∴此拋物線的表達(dá)式為y=x²-2x-1．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．